판아우벌 정리

판아우벌 정리는 네덜란드 수학자 헨리퀴스 휘베르튀스 판아우벌(Henricus Hubertus van Aubel)의 이름이 붙은 정리이다.

판아우벌 정리는 사각형에도 응용할 수 있다.

공식화

판아우벌 정리

삼각형 ABC (△ABC)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을 $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$이라고 할 때 ($A_{1}\in {\overline {BC}}$, $B_{1}\in {\overline {AC}}$, $C_{1}\in {\overline {AB}}$)

다음과 같은 식이 성립하는데,

${\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}$

이를 판아우벌 정리라고 한다.

증명 Ⅰ

$P_{\triangle XYZ}$는 삼각형 $XYZ$의 면적을 뜻한다.

삼각형 $ABC$와 삼각형 $PBC$는 동일한 선분 $BC$를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서

${\frac {AA_{1}}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}}$가 성립하는데

이것은

${\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}$을 내포한다.

또 삼각형 $ACC_{1}$과 삼각형 $BCC_{1}$을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 $CC_{1}$을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACC_{1}}}{P_{\triangle BCC_{1}}}}$가 성립한다.

위와 동일한 방법으로

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}}$을 얻을 수 있다.

따라서

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_{1}P}}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}}$

위 식을 정리하면,

(i)   ${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}}{P_{\triangle BCP}}}$

이와 같은 방법으로 동일하게 구하면

(ii)  ${\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}$

(i)식과 (ii)식을 각각 더하면

${\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$

판아우벌 정리를 증명할 수 있다.

증명 Ⅱ

판아우벌 정리는 메넬라오스 정리와 체바 정리를 이용하여 증명할 수 있다.

삼각형 $ABA_{1}$과 직선 $CC_{1}$에 대해서 메넬라오스 정리가 성립한다.

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BC}{CA_{1}}}\cdot {\frac {A_{1}P}{PA}}=1$

이 식을 변형하면,

${\frac {PA}{A_{1}P}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BC}{CA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}+CA_{1}}{CA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot ({\frac {BA_{1}}{CA_{1}}}+{\frac {CA_{1}}{CA_{1}}})$

따라서,

(i) ${\frac {PA}{A_{1}P}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{CA_{1}}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}$

삼각형 $ABC$에서 체바 정리가 성립한다.

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}\cdot {\frac {CB_{1}}{B_{1}A}}=1$

따라서,

(ii) ${\frac {B_{1}A}{CB_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}\cdot {\frac {BA_{1}}{A_{1}C}}$

(ii)식을 (i)식에 대입하면

${\frac {PA}{A_{1}P}}={\frac {B_{1}A}{CB_{1}}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}$

증명 Ⅲ

판아우벌 정리는 삼각함수를 이용하여 증명할 수 있다.

같이 보기

• 다 빈치
• 피카소

외부 링크

• Van Aubel's Theorem: an interactive JavaSketch of the figure.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “van Aubel's Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Van Aubel's Theorem for Quadrilaterals and Van Aubel's Theorem for Triangles by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Van Aubel's Theorem and some generalizations at Dynamic Geometry Sketches