포츠 모형

통계역학에서 포츠 모형(영어: Potts model)은 이징 모형을 일반화한, 상호작용하는 스핀들을 나타내는 격자 모형이다.

정의 편집

n개 상태 포츠 모형은 격자 위에 정의된다. 격자의 각 꼭짓점 $i$ 에는 "스핀" $\theta _{i}$ 가 위치해 있는데, 이는 n개의 서로 다른 값을 가질 수 있다.

\theta _{i}\in \{0,2\pi /n,4\pi /n,6\pi /n,\dots ,2\pi (n-1)/n\}

(표준) 포츠 모형의 해밀토니언은 다음과 같다.

H=-\epsilon \sum _{\langle ij\rangle }\delta (\theta _{i},\theta _{j})

여기서 $\delta$ 는 크로네커 델타이다. $\sum _{\langle ij\rangle }$ 은 변으로 연결돼 있는 꼭짓점 쌍 $i,j$ 에 대한 합이다.

벡터 포츠 모형의 해밀토니언은 다음과 같다.

H=-\epsilon \sum _{\langle ij\rangle }\cos(\theta _{i}-\theta _{j})

$n=2,3$ 인 경우, 표준 포츠 모형과 벡터 포츠 모형은 서로 동등하고, $n=4$ 인 경우에도 연관지을 수 있다. $n>4$ 인 경우, 표준 포츠 모형과 벡터 포츠 모형은 알려진 관계가 없다. $n=2$ 인 포츠 모형은 이징 모형과 동등하며, $n\to \infty$ 인 벡터 포츠 모형은 (고전적) XY 모형으로 수렴한다.

역사 편집

1943년에 줄리어스 애시킨(영어: Julius Ashkin)과 에드워드 텔러가 $n=4$ 인 벡터 포츠 모형을 고려하였다.^[1] 이 때문에 이 경우를 애시킨-텔러 모형(영어: Ashkin–Teller model)이라고도 한다.

일반적인 포츠 모형과 벡터 포츠 모형은 렌프리 포츠(영어: Renfrey B. Potts)가 1951년 박사 학위 논문에서 정의하였다.^[2]

참고 문헌 편집

↑ Ashkin, Julius; Edward Teller (1943). “Statistics of Two-Dimensional Lattices With Four Components”. 《Phys. Rev.》 64 (5–6): 178–184. Bibcode:1943PhRv...64..178A. doi:10.1103/PhysRev.64.178.
↑ Potts, Renfrey B. (1952년 1월). “Some generalized order–disorder transformations”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 48 (1): 106–109. Bibcode:1952PCPS...48..106P. doi:10.1017/S0305004100027419.

Baxter, R. J. (1982). 《Exactly Solved Models in Statistical Mechanics》. Academic Press. MR 0690578. 2013년 7월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 8일에 확인함.
Wu, Fa-Yueh (1982). “The Potts model”. 《Reviews of Modern Physics》 54 (1): 235–268. Bibcode:1982RvMP...54..235W. doi:10.1103/RevModPhys.54.235.
Deguchi, Tetsuo (2003). 〈Introduction to solvable lattice models in statistical and mathematical physics〉. 《Classical and Quantum Nonlinear Integrable Systems: Theory and Application》. Taylor & Francis. arXiv:cond-mat/0304309. Bibcode:2003cond.mat..4309D. doi:10.1201/9781420034615.ch5. ISBN 978-0-7503-0959-2.
Welsh, D. J. A.; C. Merino (2000). “The Potts model and the Tutte polynomial”. 《Journal of Mathematical Physics》 41 (3): 1127. doi:10.1063/1.533181. MR 1757953.
Sokal, Alan D. “The multivariate Tutte polynomial (alias Potts model) for graphs and matroids”. arXiv:math/0503607. Bibcode:2005math......3607S.

[1] Ashkin, Julius; Edward Teller (1943). “Statistics of Two-Dimensional Lattices With Four Components”. 《Phys. Rev.》 64 (5–6): 178–184. Bibcode:1943PhRv...64..178A. doi:10.1103/PhysRev.64.178.

[2] Potts, Renfrey B. (1952년 1월). “Some generalized order–disorder transformations”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 48 (1): 106–109. Bibcode:1952PCPS...48..106P. doi:10.1017/S0305004100027419.

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