포커르-플랑크 방정식

확률 과정 이론에서, 포커르-플랑크 방정식(Fokker-Planck方程式, 영어: Fokker–Planck equation)은 어떤 이토 확률 과정의 확률 밀도 함수가 따르는 편미분 방정식이다. 이는 시간에 대하여 1차, 공간에 대하여 2차 편미분 방정식이다. 형식적으로, 슈뢰딩거 방정식의 윅 회전의 꼴이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 확률 공간 $\Omega$
• $\Omega$ 위의 위너 확률 과정 $(W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,\infty )}$
• $W$에 대한, $\mathbb {R} ^{m}$ 값의 이토 확률 과정 $\mathrm {d} X_{t}^{i}=f^{i}(t,X_{t})\,\mathrm {d} t+g^{i}{}_{j}(t,X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}^{j}$. 또한, $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$가 $x$에 대하여 1차 연속 미분 가능 함수이며, $g\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$가 $x$에 대하여 2차 연속 미분 가능 함수라고 하자.

편의상, 다음 행렬을 정의하자. 이는 이토 확률 과정의 분산을 나타낸다.

$D\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

$D^{ij}(x,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}g^{i}{}_{k}(x,t)g^{j}{}_{k}(x,t)$

이 경우, 이 이토 확률 과정에 대응되는 포커르-플랑크 방정식은 함수

$p\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$

$p\colon (t,x)\mapsto p(t,x)$

에 대한, 다음과 같은 편미분 방정식이다.

${\frac {\partial }{\partial t}}p(t,x)+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(f^{i}(t,x)p(t,x)\right)-{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left(D^{ij}(t,x)p(t,x)\right)=0$

(편의상 아인슈타인 표기법을 사용하였다.)

성질

이토 확률 과정의, 시간 $t$에서의 확률 밀도 함수 $p(t,x)$는 포커르-플랑크 방정식을 따른다.

예

위너 확률 과정 $W_{t}$는 $f=0$, $g^{i}{}_{j}=\delta _{j}^{i}$인 이토 확률 과정이다. 이 경우 포커르-플랑크 방정식은

${\frac {\partial }{\partial t}}p(t,x)={\frac {1}{2}}\Delta p(t,x)$

가 된다. 이는 $\mathbb {R} ^{m}$ 위의 열 방정식이다.

역사

아드리안 다니얼 포커르(네덜란드어: Adriaan Daniël Fokker, 1887〜1972)와 막스 플랑크가 도입하였다.

외부 링크

• “Fokker-Planck equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.