푸르만 원

기하학에서, 푸르만 원(영어: Fuhrmann circle)은 삼각형의 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 하는 원이다.

푸르만 원

정의

삼각형 $ABC$의 외접원의 호 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 각각 $F_{A}'$, $F_{B}'$, $F_{C}'$라고 하자. 직선 $BC$에 대한 $F_{A}'$의 반사상을 $F_{A}$, 직선 $CA$에 대한 $F_{B}'$의 반사상을 $F_{B}$, 직선 $AB$에 대한 $F_{C}'$의 반사상을 $F_{C}$라고 하자. 그렇다면 삼각형 $F_{A}F_{B}F_{C}$를 원래 삼각형 $ABC$의 푸르만 삼각형(영어: Fuhrmann triangle)이라고 한다. 푸르만 삼각형의 외접원을 푸르만 원이라고 한다.

성질

푸르만 원은 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 한다.^{:50, §6} 특히, 푸르만 원의 중심은 수심과 나겔 점을 잇는 선분의 중점이다.

증명:

삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 나겔 점을 $X_{8}$이라고 하자. 그렇다면 $F_{A}F_{A}'$은 선분 $BC$의 수직 이등분선이므로, 선분 $BC$의 중점 $M_{A}$와 외심 $O$를 지난다. 특히 $O$에 대한 $F_{A}'$의 반사상을 $F_{A}''$이라고 할 경우 선분 $F_{A}'F_{A}''$은 외접원의 지름이다. $AH$와 $F_{A}''F_{A}$는 모두 $BC$의 수선이므로 평행한다. 또한

${\begin{aligned}AH&=2OM_{A}\\&=2OF_{A}'-2M_{A}F_{A}'\\&=F_{A}''F_{A}'-F_{A}F_{A}'\\&=F_{A}''F_{A}\end{aligned}}$

이므로 선분 $HF_{A}$는 선분 $AF_{A}''$의 평행 이동상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다.

삼각형 $ABC$의 반중점 삼각형 $A'B'C'$의 $A$, $B$, $C$에 대한 꼭짓점을 $A'$, $B'$, $C'$이라고 하자. 그렇다면 $X_{8}$은 삼각형 $A'B'C'$의 내심이며, 특히 $A'X_{8}$은 삼각형 $A'B'C'$의 내각 이등분선이다. $AF_{A}'$ 역시 삼각형 $ABC$의 내각 이등분선이므로, $A'X_{8}$과 $AF_{A}'$은 평행한다. $M_{A}$는 선분 $AA'$과 $F_{A}F_{A}'$의 공통 중점이므로, 선분 $AF_{A}'$과 $A'F_{A}$는 서로 $M_{A}$에 대한 반사상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다. 따라서, $A'$, $X_{8}$, $F_{A}$는 공선점이며, $X_{8}F_{A}$와 $AF_{A}'$은 평행한다.

선분 $F_{A}'F_{A}''$은 삼각형 $ABC$의 외접원의 지름이므로, $AF_{A}'$과 $AF_{A}''$은 서로 수직이다. 따라서 $X_{8}F_{A}$와 $HF_{A}$ 역시 서로 수직이며, $F_{A}$는 선분 $HX_{8}$를 지름으로 하는 원 위의 점이다.

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$라고 하고, 외접원의 반지름을 $R$라고 하자. 그렇다면 푸르만 원의 반지름은

$R{\sqrt {\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc}{abc}}}$

이다.^{:148, §11.17}

삼각형 $ABC$의 내접원의 반지름을 $r$라고 하고, 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$에서 대변에 내린 수선과 푸르만 원 사이의 수심이 아닌 교점을 $P$, $Q$, $R$라고 하자. 그렇다면

$AP=BQ=CR=2r$

이다.^{:52, §6}

삼각형 $ABC$의 세 변의 길이를 $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$라고 하고, 외심을 $O$, 내심을 $I$라고 하자. 그렇다면 푸르만 삼각형의 세 변의 길이는

$F_{B}F_{C}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}}OI={\sqrt {\frac {a(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(a-b+c)(a+b-c)}}}$

$F_{A}F_{C}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a-b+c)}{ac}}}OI={\sqrt {\frac {b(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(b+c-a)(a+b-c)}}}$

$F_{A}F_{B}={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a+b-c)}{ab}}}OI={\sqrt {\frac {c(a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2})+3abc)}{(b+c-a)(a-b+c)}}}$

이다.^{:255, §19.15}

삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$, 수심을 $H$, 나겔 점을 $X_{8}$, 푸르만 원의 중심을 $X_{355}$라고 하자. 그렇다면 사각형 $OIX_{355}X_{8}$과 사각형 $OIHX_{355}$는 모두 평행 사변형이며, 그 무게 중심은 각각 슈피커 중심 및 구점원의 중심이다.^{:255, §19.15} 특히, 슈피커 중심은 외심과 푸르만원의 중심을 잇는 선분의 중점이며, 구점원의 중심은 내심과 푸르만 원의 중심을 잇는 선분의 중점이다.

삼각형 $ABC$의 외접원과 내접원의 반지름을 $R$와 $r$라고 하자. 그렇다면 내심 $I$와 푸르만 원의 중심 $X_{355}$ 사이의 거리는 다음과 같다.^{:255, §19.15}

$IX_{355}=2NI=R-2r$

여기서 $N$은 구점원의 중심이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuhrmann circle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuhrmann triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuhrmann center”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.