푸아송 방정식

푸아송 방정식(Poisson方程式, 영어: Poisson’s equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 라플라스 방정식을 일반화한 것이다. 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다.

정의

$n$차원 다양체 $M$ 위에서, $f$가 $M$ 위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 푸아송 방정식은 미지 함수 $\phi$에 대한 다음과 같은 2차 편미분 방정식이다.

$\Delta \phi =f$

여기서 $\Delta$는 라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는 $M$이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

그린 함수

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다. $n$차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수 $G_{n}(\mathbf {r} )$는 다음과 같다.

$G_{1}(r)=-{\frac {|r|}{2}}$

$G_{2}(\mathbf {r} )=-{\frac {\ln(\Vert \mathbf {r} \Vert )}{2\pi }}$

$G_{n}(\mathbf {r} )={\frac {1}{V_{n}\Vert \mathbf {r} \rVert ^{n-2}}}$ ($n>2$)

여기서

$V_{n}=2\pi ^{n/2}/\Gamma (n/2)$

은 반지름이 1인 $n-1$차원 초구의 (초)면적이고, $\Gamma$는 감마 함수다. 예를 들어

$V_{1}=2$

$V_{2}=2\pi$

$V_{3}=4\pi$

$V_{4}=2\pi ^{2}$

이다. 그린 함수 $G_{n}$은 다음을 만족시킨다.

$\Delta G_{n}(\mathbf {r} )=-\delta ^{(n)}(\mathbf {r} )$

여기서 $\delta ^{(n)}$는 $n$차원 디랙 델타 함수다.

응용

전자기학에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 전위를 계산할 때 쓰인다. 이 경우 $f$는 주어진 전하 밀도이고, $\phi$는 전위로 해석한다.