프리드리히 부등식

수학에서 프리드리히 부등식은 Kurt Friedrichs가 만든 함수해석학의 정리다. 이 정리는 정의역의 기하학 그리고 함수의 약도함수에서 Lp유계를 사용하는 함수의 상황에서 쓰인다. 그리고 소볼레프 공간의 특정 노름과 동일하다는 것을 보여줄 수 있다. 프리드리히 부등식은 k=1일 때의 푸엥카레-비르팅거 부등식을 일반화한다.

명제

$\Omega$를 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에서 지름이 $d$인 유계 집합이라 하자. $u:\Omega \to \mathbb {R}$가 소볼레프 공간 $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ 에 있다고 가정하자.

즉 $u\in W^{k,p}(\Omega )$이고, 경계 $\partial \Omega$의 $u$의 자취는 0이다. 그러면 아래의 식이 나온다.

$$\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.$$

위 식에서

• $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$는 ^Lp 노름이다.
• α = (α₁, ..., α_n)은 노름 |α| = α₁ + ... + α_n;의 다중지표이다.
• D^αu는 혼합 편도함수이다.
  $$\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.$$

같이 보기

• 푸앵카레 부등식

참조

• Rektorys, Karel (2001) [1977]. 〈The Friedrichs Inequality. The Poincaré inequality〉. 《Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering》 2판. Dordrecht: Reidel. 188–198쪽. ISBN 1-4020-0297-1.