연산에 대한 닫힘
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환
K
{\displaystyle K}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
자연수
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
M
k
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)}
증명:
만약
G
∈
Unit
(
Mat
(
n
;
K
)
)
{\displaystyle G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))}
G
−
1
M
G
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (a_{1},\dotsc ,a_{n})}
대각 행렬 이라고 하자. 그렇다면,
diag
(
a
1
k
,
…
,
a
n
k
)
=
diag
(
a
1
,
…
,
a
n
)
k
=
(
G
−
1
M
G
)
k
=
G
−
1
M
k
G
{\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1}^{k},\dotsc ,a_{n}^{k})=\operatorname {diag} (a_{1},\dotsc ,a_{n})^{k}=(G^{-1}MG)^{k}=G^{-1}M^{k}G}
이다.
또한, 만약 추가로
K
{\displaystyle K}
대수적으로 닫힌 체 이며
M
{\displaystyle M}
가역 행렬 이라면, 임의의 정수
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
M
k
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)}
그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.
필요 조건과 충분 조건
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체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
동치 이다.
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
고유 공간 들의 차원들의 합이
n
{\displaystyle n}
p
(
M
)
=
0
{\displaystyle p(M)=0}
일계수 다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
k
{\displaystyle k}
p
{\displaystyle p}
k
{\displaystyle k}
체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
고유 다항식
χ
M
(
x
)
=
det
(
x
−
M
)
∈
K
[
x
]
{\displaystyle \chi _{M}(x)=\det(x-M)\in K[x]}
n
{\displaystyle n}
이는 충분 조건 이지만, 필요 조건 이 아니다.
대각화 가능 행렬의 밀도
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복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은
n
2
{\displaystyle n^{2}}
아핀 공간
Mat
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}
여집합 은 영집합 이다 (그 르베그 측도 가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬 은 대각화 가능 행렬이다.
반면, 실수체 위에서, 만약
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
동시 대각화
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환
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬 들의 족
M
⊆
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)}
가역 행렬
G
∈
Unit
(
Mat
(
n
;
K
)
)
{\displaystyle G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))}
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
동시 대각화 가능 행렬족 (同時對角化可能行列族, 영어 : simultaneously diagonalizable family of matrices )이라고 한다.
임의의
M
∈
M
{\displaystyle M\in {\mathcal {M}}}
G
−
1
M
G
{\displaystyle G^{-1}MG}
대각 행렬 이다. 체
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬 들의 족
M
⊆
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)}
동치 이다.[1] :206, §6.5; 207, §6.5, Theorem 3
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
M
,
N
∈
M
{\displaystyle M,N\in {\mathcal {M}}}
M
N
=
N
M
{\displaystyle MN=NM}
모든 대각 행렬 은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.
대각화 불가능 행렬
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임의의 체
K
{\displaystyle K}
(
0
1
0
0
)
∈
Mat
(
2
;
K
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)}
은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.
다음과 같은 행렬을 생각하자.
(
0
1
−
1
0
)
∈
Mat
(
2
;
K
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)}
K
{\displaystyle K}
체 일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건 은 다음과 같다.
K
{\displaystyle K}
−
1
{\displaystyle -1}
즉, 만약
K
{\displaystyle K}
표수 가 2가 아니며,
−
1
{\displaystyle -1}
i
∈
K
{\displaystyle \mathrm {i} \in K}
±
i
{\displaystyle \pm \mathrm {i} }
K
{\displaystyle K}
−
1
{\displaystyle -1}
고윳값 을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약
K
{\displaystyle K}
표수 가 2일 경우,
−
1
=
1
{\displaystyle -1=1}
고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간 은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.
대각화의 예
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임의의 환
K
{\displaystyle K}
M
=
(
1
2
0
0
3
0
2
−
4
2
)
∈
Mat
(
3
;
K
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;K)}
이는 세 개의 고윳값
λ
1
=
3
,
λ
2
=
2
,
λ
3
=
1
{\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1}
을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다.
각 고윳값의 고유 벡터 는 다음과 같다.
v
1
=
(
−
1
−
1
2
)
,
v
2
=
(
0
0
1
)
,
v
3
=
(
−
1
0
2
)
{\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}},\quad v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}}
따라서,
P
=
(
v
1
v
2
v
3
)
=
(
−
1
0
−
1
−
1
0
0
2
1
2
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}}
P
−
1
=
(
0
−
1
0
2
0
1
−
1
1
0
)
{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}}
를 정의하면,
P
−
1
M
P
=
diag
(
3
,
2
,
1
)
{\displaystyle P^{-1}MP=\operatorname {diag} (3,2,1)}
이 된다.
외부 링크
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![{\displaystyle p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f209a0138930b769ca3c23906c6c4a33f547e78d)
![{\displaystyle \chi _{M}(x)=\det(x-M)\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60530e0494dfc1c33114abb7b9ac164a9df196a2)
