행렬 이론

이론물리학에서 행렬 이론(行列理論, 영어: M(atrix) theory)은 매우 큰 행렬들을 다루는 양자역학 모형이다. 이는 축소화시키지 않은 11차원 민코프스키 공간에서의 M이론의 비섭동적인 정의다.

역사와 어원

1996년에 토머스 뱅크스(영어: Thomas Banks)와 빌리 피스흘러르(네덜란드어: Willy Fischler), 스티븐 하트 솅커(영어: Stephen Hart Shenker)와 레너드 서스킨드가 발견하였다. 영어명인 영어: M(atrix)는 행렬을 뜻하는 영어: matrix 메이트릭스^[*]의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다. 발견자들의 이름을 따 BFSS 행렬 이론(영어: BFSS matrix theory)이라고 하기도 한다.

민코프스키 공간에서의 M이론을 나타내는 BFSS 행렬 이론 뒤에, IIB종 초끈 이론을 나타내는 IKKT 행렬 이론이나, 평면파 배경에서의 M이론을 나타내는 BMN 행렬 이론 등이 발견되었다.

유도

IIA종 초끈 이론에서, 끈 결합 상수 $g_{\text{s}}$가 매우 작은 경우를 생각하자. 이 경우, 11번째 차원의 반지름이 $R=g_{\text{s}}{\sqrt {\alpha '}}$이 매우 크게 되므로, IIA종 초끈 이론은 11차원에 존재하는 M이론으로 다룰 수 있다.

이제, 11번째 차원으로 로런츠 변환을 취하자. 11번째 차원이 축소화되어 있으므로, 운동량의 11번째 차원의 크기는 $1/R$의 단위로 양자화된다. 즉,

$p_{11}=N/R$ ($N\in \mathbb {Z}$)

이다. 이제, 다음과 같은 극한을 취하자.

$R\to \infty$

$N/R\to \infty$

이 극한에서 유한한 에너지를 가진 상태들은 N개의 D0-막과 여기에 붙은 바닥 상태 열린 끈 뿐이다. 이는 단순히 로런츠 변환을 한 것이므로, 11차원 M이론을 N개의 겹친 D0-막의 세계선 위에 존재하는 양자역학적 모형으로 나타낼 수 있다. 이를 행렬 이론이라고 한다.

정의

빛의 속력보다 매우 느린, N개의 겹친 D0-막의 해밀토니언은 다음과 같다.

$H=\operatorname {tr} \left({\frac {g_{\text{s}}\ell _{\text{s}}}{2}}\sum _{i=1}^{9}P_{i}P_{i}-\sum _{i,j=1}^{9}{\frac {1}{16\pi ^{2}g_{\text{s}}\ell _{\text{s}}^{5}}}[X^{i},X^{j}]^{2}-\sum _{i=1}^{9}{\frac {1}{4\pi \ell _{\text{s}}^{2}}}\lambda \Gamma ^{0}\Gamma ^{i}[X^{i},\lambda ]\right)$

여기서 $\ell _{\text{s}}={\sqrt {\alpha '}}$는 끈 길이이고, $g_{\text{s}}=\exp(\langle \Phi \rangle )$는 닫힌 끈 결합 상수다. D0-막의 정지 질량 항 $N/(g_{\text{s}}\ell _{\text{s}})$은 생략하였다.

여기서 $X^{i}$와 $P_{i}$, $\lambda ^{i}$는 각각 $N\times N$ 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 정준 교환 관계를 가진다.

$[(X^{i})^{a}{}_{b},(P_{j})^{c}{}_{d}]=i\delta _{j}^{i}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}$

$\lambda$는 $N\times N$ 에르미트 행렬이며, 행렬의 각 성분은 마요라나-바일 스피너이다. 이를 M이론 변수들

$R=g_{\text{s}}\ell _{\text{s}}$

$\ell _{\text{p}}=g_{\text{s}}^{1/3}\ell _{\text{s}}$

로 쓰면 다음과 같다.

$H=R\operatorname {tr} \left({\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{9}P_{i}P_{i}-\sum _{i,j=1}^{9}{\frac {1}{16\pi ^{2}\ell _{\text{p}}^{6}}}[X^{i},X^{j}]^{2}-\sum _{i=1}^{9}{\frac {1}{4\pi \ell _{\text{p}}^{2}}}\lambda \Gamma ^{0}\Gamma ^{i}[X^{i},\lambda ]\right)$

이를 해밀토니언으로 가지는 양자역학계를 행렬 이론이라고 한다.

참고 문헌

• Banks, Tom. “Matrix theory” (영어). arXiv:hep-th/9710231. Bibcode:1998NuPhS..67..180B. doi:10.1016/S0920-5632(98)00130-3. 
• Banks, Tom. “The state of Matrix theory” (영어). arXiv:hep-th/9706168. Bibcode:1998NuPhS..62..341B. doi:10.1016/S0920-5632(97)00676-2. 
• Banks, Tom. “TASI lectures on Matrix theory” (영어). arXiv:hep-th/9911068. Bibcode:1999hep.th...11068B. 
• Bigatti, Daniela; Leonard Susskind. “Review of Matrix theory” (영어). arXiv:hep-th/9712072. Bibcode:1997hep.th...12072B. 
• Bilal, Adel. “M(atrix) theory: a pedagogical introduction” (영어). arXiv:hep-th/9710136. Bibcode:1999ForPh..47....5B. doi:10.1002/(SICI)1521-3978(199901)47:1/3<5::AID-PROP5>3.0.CO;2-B. 
• Polchinski, Joseph. “M-theory and the light cone” (영어). arXiv:hep-th/9903165. Bibcode:1999PThPS.134..158P. doi:10.1143/PTPS.134.158. 
• Taylor, Washington. “The M(atrix) model of M-theory” (영어). arXiv:hep-th/0002016. Bibcode:2000hep.th....2016T. 
• Taylor, Washington. “M(atrix) Theory: Matrix Quantum Mechanics as a Fundamental Theory” (영어). arXiv:hep-th/0101126. Bibcode:2001RvMP...73..419T. doi:10.1103/RevModPhys.73.419.