호지 구조

대수기하학에서 호지 구조(Hodge構造, 영어: Hodge structure)는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.

정의

순수 호지 구조

무게가 $n$인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, 영어: pure Hodge structure) $(H,F^{\bullet })$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{:Definition 1}

• 자유 아벨 군 $H$
• 복소수 벡터 공간의 유한 감소 여과 $H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{n}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

• $p+q=n+1$이라면, $F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}=\{0\}$, $F^{p}\oplus {\bar {F}}^{q}=H\otimes \mathbb {C}$

순수 호지 구조 $(H,F^{\bullet })$에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.

$H^{p,q}=F^{p}\cap {\bar {F}}^{q}$

그렇다면 다음이 성립한다.

$H\otimes \mathbb {C} =H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus \cdots \oplus H^{n,0}$

${\bar {H}}^{p,q}\cong H^{q,p}$

무게 $n$의 순수 호지 구조 $(H,F^{\bullet })$의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) $h^{\bullet ,n-\bullet }$는 다음과 같다.

$h^{p,n-p}=\dim _{\mathbb {C} }H^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )$

순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 $H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$ 위의, 복소수 곱셈군 $\mathbb {S} (\mathbb {R} )=\mathbb {C} ^{\times }$의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, $H^{p,q}$는 $\mathbb {C} ^{\times }$의 작용이 $z\colon v\mapsto z^{p}{\bar {z}}^{q}v$의 꼴인 성분이다.

같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) $f\colon H\to H'$은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

• $f(H^{p,q})\subset \bigoplus _{i\geq 0}H'^{p+i,q-i}$

무게 $k$의 두 개의 순수 호지 구조 $H$, $H'$이 주어졌을 때, 직합 $H\oplus H'$ 역시 무게 $k$의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 $k$의 순수 호지 구조 $H$와 무게 $k'$의 순수 호지 구조 $H'$이 주어졌을 때, 텐서곱 $H\otimes H'$은 무게 $kk'$의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 $k$의 순수 호지 구조 $H$ 위의 극성화(極性化, 영어: polarization) $Q$는 다음 조건들을 만족시키는, $H$ 위의 정수 이차 형식이다.

• $Q^{\mathbb {C} }(a,b)=(-1)^{k}\mathbb {Q} ^{\mathbb {C} }(b,a)\qquad \forall a,b\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$
• $Q^{\mathbb {C} }(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\neq (q',p')$
• $i^{p-q}Q(a,{\bar {a}})\in \mathbb {R} ^{+}\forall a\in H^{p,q}\setminus \{0\}$

혼합 호지 구조

혼합 호지 구조(混合Hodge構造, 영어: mixed Hodge structure) $(H,F^{\bullet },W_{\bullet })$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{:Definition 10(1)}

• 아벨 군 $H$
• $H\otimes \mathbb {C}$ 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 여과 $H\otimes \mathbb {C} =F^{0}\supseteq F^{1}\supseteq \cdots \supseteq F^{k}$. 이를 호지 여과(Hodge濾過, 영어: Hodge filtration)라고 한다.
• $H\otimes \mathbb {Q}$ 위의, 유리수 벡터 공간들의 유한 증가 여과 $W_{0}\subseteq W_{1}\subseteq \cdots \subseteq W_{m}=H\otimes \mathbb {Q}$. 이를 무게 여과(-濾過, 영어: weight filtration)라고 한다.

이는 다음을 만족시켜야 한다.

• 모든 $n$에 대하여, $\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(W_{n}/W_{n-1})\otimes \mathbb {C}$ 위의 감소 여과 $F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )/(W_{n-1}\otimes \mathbb {C} )$는 무게 $n$의 순수 호지 구조를 이룬다.

혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.

혼합 호지 구조 $(H,F^{\bullet },W_{\bullet })$의 호지 수(Hodge數, 영어: Hodge number) $h^{\bullet ,\bullet }$는 다음과 같다.^{:Definition 10(3)}

$h^{p,q}=\dim _{\mathbb {C} }\operatorname {gr} _{F}^{p}\operatorname {gr} _{p+q}^{W}(H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} )$

두 혼합 호지 구조 $(H,F,W)$, $(H',F',W')$ 사이의 사상(寫像, 영어: morphism) $f\colon H\to H'$은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다.

• $f(F^{p})\subseteq F'^{p}$
• $f(W_{k}H)\subseteq W'_{k}$

혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주(영어: Tannakian category)를 이룬다.

다양체의 호지 구조

켈러 다양체

콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) $X$의 복소수 계수 특이 코호몰로지 $H^{k}(X;\mathbb {C} )=H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C}$는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.

$H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X)\qquad \forall k=0,1,\dots ,n$

이는 무게 $n$의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합

$H(X;\mathbb {Z} )=\bigoplus _{n}H^{n}(X;\mathbb {Z} )$

은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는

$W_{k}=\bigoplus _{i\leq k}H^{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q}$

이며, 호지 여과는

$F^{p}=\bigoplus _{i\geq p}H^{i,n-i}$

이다.

두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상 $f\colon M\to M'$은 순수 호지 구조의 사상

$f^{*}\colon H^{n}(M')\to H^{n}(M)$

을 유도한다.^{:Example 7}

비완비 비특이 대수다양체

(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 $X$의 $k$차 특이 코호몰로지 $H^{k}(X;\mathbb {Z} )$ 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 $H^{k}(X;\mathbb {Z} )$ 위에 존재하는 무게는 $k,k+1,\dots ,\min\{2\dim _{\mathbb {C} }X,2k)$이다.^{:Theorem 8}

$\operatorname {gr} _{n}^{W}H^{k}(X;\mathbb {Q} )\neq 0\implies k\leq n\leq \min\{2\dim _{\mathbb {C} }U,2k\}$

또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.

비특이 사영 대수다양체 $X$의 닫힌 비특이 부분다양체 $Y\hookrightarrow X$가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다.

$\cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to \cdots$

혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다. 이 경우 $H^{\bullet }(X)$는 순수 호지 구조이지만, $H^{\bullet }(X,Y)$ 및 $H^{\bullet }(Y)$는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.

특이 대수다양체

보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다. 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.

관련 개념

호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, 영어: variation of Hodge structure)은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.

호지 가군(Hodge加群, 영어: Hodge module)은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코(일본어: 斎藤 盛彦)가 도입하였다.

예

무게 0 또는 1의 호지 구조

임의의 아벨 군 $H$에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.

$H^{0,0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$

$F^{0}=H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$

만약 호지 구조의 차수 $(p,q)$가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.

아벨 군 $H$ 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 $(p,q)$가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간$H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ 위의 복소구조

$J\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$

$J^{2}=-1$

와 같다. 이 경우,

$H^{1,0}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=iv\}$

$H^{0,1}=\{v\in H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \colon J^{\mathbb {C} }v=-iv\}$

이다. 여기서

$J^{\mathbb {C} }\colon H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \to H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$

$(J^{\mathbb {C} })^{2}=-1$

는 $J$의 복소수체로의 선형 확대이다.

보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 $H$ 위에, 짝수 무게 $2n$의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.^{:Example 1}

$H^{p,q}={\begin{cases}H\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} &(p,q)=(n,n)\\\{0\}&(p,q)\neq (n,n)\end{cases}}$

테이트 호지 구조(영어: Tate Hodge structure) $\mathbb {Z} (1)$는 $\mathbb {Z}$ 위에 정의되는, 무게 $-2$의 순수 호지 구조이다.^{:Example 2} 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 $-2n$의 호지 구조는 $\mathbb {Z} (n)$으로 쓴다.

테이트 뒤틂

무게 $k$의 순수 호지 구조 $(H,F^{\bullet })$ 및 정수 $r$가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂(영어: Tate twist) $H(r)$는 다음과 같은, 무게 $k+2r$의 순수 호지 구조이다.^{:Example 3}

• 아벨 군으로서, $H(r)=H$
• $H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}$

구멍을 뚫은 타원 곡선

복소수 타원 곡선 $E$에 서로 다른 닫힌 점 $z_{1},\dots ,z_{k}\in E$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.^{:Example 18} 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

$H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0$

$H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k+1}\qquad (k>1)$

$H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\qquad (k>0)$

상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.

$0\to H^{0}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{1}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0$

즉, 이는 다음과 같이 분해된다.

$0\to H^{0}(E;\mathbb {Q} )\to H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to 0$

$0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\to H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\to 0$

긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.

$0\to H^{1}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{2}\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to \operatorname {gr} _{1}^{W}H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=0$

$0\to \operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\to H^{2}(E,E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} ^{k}\to H^{2}(E;\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} \to 0$

즉,

$\operatorname {gr} _{0}^{W}H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{0}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )$

$\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {gr} _{1}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=2$

$\operatorname {gr} _{2}^{W}H^{1}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )=H^{2}(E\setminus \{z_{1},\dots ,z_{k}\};\mathbb {Q} )$

이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.

횡단 교차

대수다양체 $X$가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 $X_{1}$과 $X_{2}$의 합집합이며, $X_{1}$과 $X_{2}$는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다.^:§4 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.

$\cdots \to H^{i-1}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i-1}}}H^{i}(X)\to H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})\to H^{i}(X_{1}\cap X_{2}){\xrightarrow {\delta _{i}}}H^{i+1}(X)\to \cdots$

이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 $H^{i}(X_{1}\cap X_{2})$와 $H^{i}(X_{1})\oplus H^{i}(X_{2})$는 무게 $i$의 순수 호지 구조를 가지지만, $H^{i}(X)$는 일반적으로 무게 $i$ 및 $i-1$을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.

$W_{j}(H^{i}(X))={\begin{cases}H^{i}(X)&j\geq i\\\operatorname {im} \delta _{i-1}&j=i-1\\0&j<i-1\end{cases}}$

참고 문헌

• Peters, Christiaan; Steenbrink, Joseph H. M. (2008). 《Mixed Hodge structures》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-3-540-77017-6. ISBN 978-3-540-77015-2. 2015년 3월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 26일에 확인함. 
• Eduardo Cattani, Fouad El Zein, Phillip A. Griffiths, Lê Dũng Tráng, 편집. (2014). 《Hodge theory》. Mathematical Notes (영어) 49. Princeton University Press. ISBN 9780691161341.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)

외부 링크

• “Hodge structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Variation of Hodge structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hodge structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Examples of mixed Hodge structures” (영어). Math Overflow. 
• Sabbah, Claude. “Théorie de Hodge et théorème de Lefschetz «difficile». Notes de cours (Strasbourg 2000, Bordeaux 2001)” (PDF) (프랑스어). 

같이 보기

• 호지 이론
• 호지 추측
• 모티브 (수학)