회전파 근사 (rotating wave approximation )는 상호작용 묘사 의 해밀토니언 에서 켓 벡터(ket vector)에 포함되는, 섭동 이 없을 때의 해밀토니안을 무시하고 상호작용에 의한 변화만을 남겨두는 근사 방법이다.
2준위계에서 단진동하는 섭동
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섭동 이론의 해
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2준위계(Two-level system )에서, 각 준위의 에너지 고윳값 과 그 때의 고유함수를 각각
E
a
,
E
b
,
ψ
a
,
ψ
b
{\displaystyle E_{a},E_{b},\psi _{a},\psi _{b}}
H
0
{\displaystyle H_{0}}
Ψ
(
t
)
=
c
a
(
t
)
ψ
a
e
−
i
E
a
t
/
ℏ
+
c
b
(
t
)
ψ
b
e
−
i
E
b
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (t)=c_{a}(t)\psi _{a}e^{-iE_{a}t/\hbar }+c_{b}(t)\psi _{b}e^{-iE_{b}t/\hbar }}
라 할 수 있다. 이 때,
|
c
a
(
t
)
|
2
+
|
c
b
(
t
)
|
2
=
1
{\displaystyle \left|c_{a}(t)\right|^{2}+\left|c_{b}(t)\right|^{2}=1}
이다. 이제 단진동하는 섭동
H
1
(
r
→
,
t
)
=
V
(
r
→
)
cos
(
w
t
)
{\displaystyle H^{1}({\vec {r}},t)=V({\vec {r}})\cos {(wt)}}
c
a
(
0
)
=
1
,
c
b
(
0
)
=
0
{\displaystyle c_{a}(0)=1,c_{b}(0)=0}
c
b
(
t
)
≃
−
V
b
a
2
ℏ
[
e
i
(
ω
0
+
ω
)
t
−
1
ω
0
+
ω
+
e
i
(
ω
0
−
ω
)
t
−
1
ω
0
−
ω
]
{\displaystyle c_{b}(t)\simeq -{\frac {V_{ba}}{2\hbar }}\left[{\frac {e^{i(\omega _{0}+\omega )t}-1}{\omega _{0}+\omega }}+{\frac {e^{i(\omega _{0}-\omega )t}-1}{\omega _{0}-\omega }}\right]}
여기에서
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
V
b
a
=
⟨
ψ
b
|
V
|
ψ
a
⟩
{\displaystyle V_{ba}=\langle \psi _{b}|V|\psi _{a}\rangle }
P
a
→
b
(
t
)
=
|
c
b
(
t
)
|
2
≃
|
V
a
b
|
2
ℏ
2
sin
2
[
(
ω
0
−
ω
)
t
/
2
]
(
ω
0
−
ω
)
2
{\displaystyle P_{a\to b}(t)=|c_{b}(t)|^{2}\simeq {\frac {|V_{ab}|^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin ^{2}{[(\omega _{0}-\omega )t/2]}}{(\omega _{0}-\omega )^{2}}}}
라비 진동수
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라비(Isidor Isaac Rabi , 1898 - 1988)는 처음 섭동을 회전파 근사하면, 섭동이론을 고려하지 않고도 문제를 정확히 풀 수 있음을 지적하였다. 위 결과의 첫 번째 항은
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle \cos {(\omega t)}}
e
i
ω
t
/
2
{\displaystyle e^{i\omega t}/2}
H
b
a
1
=
V
b
a
2
e
−
i
ω
t
,
H
a
b
1
=
V
a
b
2
e
i
ω
t
{\displaystyle H_{ba}^{1}={\frac {V_{ba}}{2}}e^{-i\omega t},\quad H_{ab}^{1}={\frac {V_{ab}}{2}}e^{i\omega t}}
위의 섭동은 에르미티안(hermitian)이다. 이러한 근사는 디락 묘사에서, 섭동 이론에서 확인한 것과 같은, 물리적 의미를 확인할 수 있다. 이는 아래 원자의 쌍극자 근사에서의 섭동에서 서술할 것이다. 해는 다음과 같다.
c
a
(
t
)
=
e
i
(
ω
−
ω
0
)
t
/
2
[
cos
(
Ω
t
)
+
i
(
ω
0
−
ω
2
Ω
)
sin
(
Ω
t
)
]
,
c
b
(
t
)
=
−
i
2
ℏ
Ω
e
i
(
ω
0
−
ω
)
t
/
2
sin
Ω
t
{\displaystyle c_{a}(t)=e^{i(\omega -\omega _{0})t/2}\left[\cos {(\Omega t)}+i\left({\frac {\omega _{0}-\omega }{2\Omega }}\right)\sin {(\Omega t)}\right],\quad c_{b}(t)=-{\frac {i}{2\hbar \Omega }}e^{i(\omega _{0}-\omega )t/2}\sin {\Omega t}}
이제 전이주파수는 다음과 같다.
P
a
→
b
(
t
)
=
|
c
b
(
t
)
|
2
=
(
|
V
a
b
|
2
ℏ
Ω
)
2
sin
2
(
Ω
t
)
{\displaystyle P_{a\to b}(t)=|c_{b}(t)|^{2}=\left({\frac {|V_{ab}|}{2\hbar \Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}{(\Omega t)}}
이때, 라비 진동수(Generalized Rabi frequency )
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
=
1
2
(
ω
0
−
ω
)
2
+
(
|
V
a
b
|
/
ℏ
)
2
{\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\omega _{0}-\omega )^{2}+(|V_{ab}|/\hbar )^{2}}}}
로 정의된다.
원자의 쌍극자 근사에서의 섭동
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쌍극자 근사에서의 상호작용(섭동)
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쌍극자 모멘트 (Dipole moment)가
d
→
{\displaystyle {\vec {d}}}
H
1
=
−
d
→
⋅
E
→
{\displaystyle H^{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}
외부 전기장은
E
→
(
t
)
=
E
0
→
(
e
−
i
ω
t
+
e
i
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E_{0}}}\left(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}\right)}
이다. 이제 고유함수를 기저로 하자.
예를 들어,수소 원자에서 바닥상태(Ground state)가 (000)이고, 들뜬 상태가 (211)인 2준위계로 주어진다면,
d
→
=
(
0
∫
Ψ
211
∗
(
r
→
)
e
r
→
Ψ
100
(
r
→
)
d
3
r
∫
Ψ
100
∗
(
r
→
)
e
r
→
Ψ
211
(
r
→
)
d
3
r
0
)
{\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}0&\int \Psi _{211}^{*}({\vec {r}})e{\vec {r}}\Psi _{100}({\vec {r}})d^{3}r\\\int \Psi _{100}^{*}({\vec {r}})e{\vec {r}}\Psi _{211}({\vec {r}})d^{3}r&0\\\end{pmatrix}}}
이다. 일반적으로 에너지 고유상태에서 원자가 쌍극자를 가지지 않으므로, 쌍극자 모멘트 연산자의 대각 성분은 0이다. 따라서 쌍극자 모멘트 연산자를 아래와 같이 적을 수 있다.
d
→
=
(
0
d
→
a
b
d
→
b
a
∗
0
)
{\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}0&{\vec {d}}_{ab}\\{{\vec {d}}_{ba}}^{*}&0\\\end{pmatrix}}}
따라서, 섭동은
H
1
=
−
d
→
⋅
E
→
=
(
0
−
ℏ
Ω
(
e
−
i
ω
t
+
e
i
ω
t
)
−
ℏ
Ω
(
e
−
i
ω
t
+
e
i
ω
t
)
0
)
{\displaystyle H^{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}={\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega \left(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}\right)\\-\hbar \Omega \left(e^{-i\omega t}+e^{i\omega t}\right)&0\\\end{pmatrix}}}
이다.
ω
{\displaystyle \omega }
−
ω
{\displaystyle -\omega }
디락 묘사와 회전파 근사
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이제,
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
=
1
ℏ
d
→
a
b
⋅
E
→
{\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\hbar }}{\vec {d}}_{ab}\cdot {\vec {E}}}
회전하는 좌표계에서 상호작용은
H
I
1
=
e
i
H
0
t
/
ℏ
H
1
e
−
i
H
0
t
/
ℏ
{\displaystyle H_{I}^{1}=e^{iH_{0}t/\hbar }H^{1}e^{-iH_{0}t/\hbar }}
와 같이 주어진다. 따라서,
H
I
1
=
(
0
−
ℏ
Ω
(
e
−
i
(
ω
−
ω
0
)
t
+
e
i
(
ω
+
ω
0
)
t
)
−
ℏ
Ω
(
e
i
(
ω
−
ω
0
)
t
+
e
−
i
(
ω
+
ω
0
)
t
)
0
)
{\displaystyle H_{I}^{1}={\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega \left(e^{-i(\omega -\omega _{0})t}+e^{i(\omega +\omega _{0})t}\right)\\-\hbar \Omega \left(e^{i(\omega -\omega _{0})t}+e^{-i(\omega +\omega _{0})t}\right)&0\\\end{pmatrix}}}
이다.
이제, 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다고 하면,
H
I
1
≃
(
0
−
ℏ
Ω
(
e
−
i
(
ω
−
ω
0
)
t
)
−
ℏ
Ω
(
e
i
(
ω
−
ω
0
)
t
)
0
)
{\displaystyle H_{I}^{1}\simeq {\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega \left(e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\right)\\-\hbar \Omega \left(e^{i(\omega -\omega _{0})t}\right)&0\\\end{pmatrix}}}
로 근사할 수 있다. 바로 회전파 근사이다.
이제 다시 슈뢰딩거 묘사로 되돌아오면,
H
1
≃
(
0
−
ℏ
Ω
e
−
i
ω
t
−
ℏ
Ω
e
i
ω
t
0
)
{\displaystyle H^{1}\simeq {\begin{pmatrix}0&-\hbar \Omega e^{-i\omega t}\\-\hbar \Omega e^{i\omega t}&0\\\end{pmatrix}}}
이다. 바로 2준위계에서 시도한 섭동과 같은 형태의 섭동이 되었다. 섭동의 정방향 회전(
ω
{\displaystyle \omega }
−
ω
{\displaystyle -\omega }
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
Bloch-Siegert shift )이다.
참고 문헌
편집
J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition,1994.
David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second Edition, 2004.
L. Allen and J. H. Eberly, Optical Response and Two-level Atoms, Dover Publications, 1987. 
![{\displaystyle c_{b}(t)\simeq -{\frac {V_{ba}}{2\hbar }}\left[{\frac {e^{i(\omega _{0}+\omega )t}-1}{\omega _{0}+\omega }}+{\frac {e^{i(\omega _{0}-\omega )t}-1}{\omega _{0}-\omega }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1624e13fb0b1179443d3b435638d82e784289c57)
![{\displaystyle P_{a\to b}(t)=|c_{b}(t)|^{2}\simeq {\frac {|V_{ab}|^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin ^{2}{[(\omega _{0}-\omega )t/2]}}{(\omega _{0}-\omega )^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5c8df7345d9ebba6e3549b9405f95a88936023)
![{\displaystyle c_{a}(t)=e^{i(\omega -\omega _{0})t/2}\left[\cos {(\Omega t)}+i\left({\frac {\omega _{0}-\omega }{2\Omega }}\right)\sin {(\Omega t)}\right],\quad c_{b}(t)=-{\frac {i}{2\hbar \Omega }}e^{i(\omega _{0}-\omega )t/2}\sin {\Omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ec12500112ccc1e379f79adf6cad4de42520fa)
