해석학 에서 횔더 연속 함수 (Hölder連續函數, 영어 : Hölder-continuous function )는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수 의 개념의 일반화이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
두 로비어 공간
(
X
,
d
X
)
{\displaystyle (X,d_{X})}
,
(
Y
,
d
Y
)
{\displaystyle (Y,d_{Y})}
음이 아닌 실수
α
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}
임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 조건을 만족시킨다면,
f
{\displaystyle f}
가
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수 라고 한다.[1] :254, §5.1
모든
x
,
x
′
∈
X
{\displaystyle x,x'\in X}
에 대하여,
d
Y
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
≤
C
d
X
(
x
,
x
′
)
α
{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq Cd_{X}(x,x')^{\alpha }}
인
C
>
0
{\displaystyle C>0}
가 존재한다.
만약 임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 조건을 만족시킨다면,
f
{\displaystyle f}
가 국소
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수 (영어 : locally
α
{\displaystyle \alpha }
-Hölder-continuous function )라고 한다.
임의의 콤팩트 집합
K
⊆
X
{\displaystyle K\subseteq X}
및
x
,
x
′
∈
K
{\displaystyle x,x'\in K}
에 대하여,
d
Y
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
≤
C
K
d
X
(
x
,
x
′
)
α
{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq C_{K}d_{X}(x,x')^{\alpha }}
인
C
K
>
0
{\displaystyle C_{K}>0}
가 존재한다.
임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
및
α
∈
R
≥
0
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{\geq 0}}
에 대하여,
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 반노름 (영어 :
α
{\displaystyle \alpha }
-Hölder seminorm )을 다음과 같이 정의하자.[1] :254, §5.1
‖
f
‖
H
o
¨
,
α
=
sup
x
,
x
′
∈
X
d
(
x
,
x
′
)
>
0
d
Y
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
(
d
X
(
x
,
x
′
)
)
α
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \|f\|_{\mathrm {H{\ddot {o}}} ,\alpha }=\sup _{x,x'\in X\;d(x,x')>0}{\frac {d_{Y}(f(x),f(x')}{(d_{X}(x,x'))^{\alpha }}}\in [0,\infty ]}
즉, 어떤 함수가
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수인 것은 유한한
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 반노름을 갖는 것과 동치 이다.
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수들의 공간을
C
0
,
α
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)}
로 표기하자. 이 위에는
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 반노름을 주어 위상 공간 으로 만들 수 있다.
0-횔더 연속 함수는 유계 함수 이며, 1-횔더 연속 함수는
C
{\displaystyle C}
-립시츠 연속 함수 이다. 임의의
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
에 대하여,
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수는 연속 함수 이다. (그러나 물론 유계 함수 는 연속 함수 가 아닐 수 있다.)
포함 관계
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만약
X
{\displaystyle X}
가 콤팩트 공간 이라고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
의 지름 이 유한하며,
임의의
0
<
α
≤
β
<
∞
{\displaystyle 0<\alpha \leq \beta <\infty }
에 대하여, 자연스러운 포함 사상
C
0
,
β
(
X
,
Y
)
⊆
C
0
,
α
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)\subseteq {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)}
이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.
‖
f
‖
0
,
α
≤
diam
(
X
)
β
−
α
‖
f
‖
0
,
β
{\displaystyle \|f\|_{0,\alpha }\leq \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }\|f\|_{0,\beta }}
따라서, 위 포함 관계는 연속 함수 이자 사실 작용소 노름 이
diam
(
X
)
β
−
α
{\displaystyle \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }}
이하인 유계 작용소 이다. 또한, 아르첼라-아스콜리 정리 에 의하여,
C
0
,
β
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)}
에서의 유계 집합 은
C
0
,
α
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)}
에서의 상대 콤팩트 집합 이다.
함수
[
0
,
1
/
2
]
→
R
{\displaystyle [0,1/2]\to \mathbb {R} }
x
↦
{
0
x
=
0
1
/
ln
x
x
>
0
{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}0&x=0\\1/\ln x&x>0\end{cases}}}
를 생각하자. 이는 연속 함수 이며 (정의역 이 콤팩트 공간 이므로) 균등 연속 함수 이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의
α
<
∞
{\displaystyle \alpha <\infty }
에 대하여
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수가 되지 못한다.
임의의
0
<
β
<
∞
{\displaystyle 0<\beta <\infty }
에 대하여, 함수
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
x
↦
x
β
{\displaystyle x\mapsto x^{\beta }}
는
0
<
α
≤
β
{\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }
에 대하여
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수이지만,
α
>
β
{\displaystyle \alpha >\beta }
일 경우
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수가 아니다.
페아노 곡선
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전사
1
/
2
{\displaystyle 1/2}
-횔더 연속 함수
[
0
,
1
]
→
[
0
,
1
]
2
{\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}}
가 존재한다. 즉, 이는 페아노 곡선 의 일종이다. 그러나
α
>
1
/
2
{\displaystyle \alpha >1/2}
의 경우, 전사
α
{\displaystyle \alpha }
-횔더 연속 함수
[
0
,
1
]
→
[
0
,
1
]
2
{\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}}
는 존재할 수 없다.
참고 문헌
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같이 보기
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외부 링크
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