후르비츠의 정리 (나눗셈 대수)
후르비츠의 정리(Hurwitz's theorem, -定理)는 독일 수학자 아돌프 후르비츠의 이름이 붙은 추상대수학의 정리로, 후르비츠가 1898년 증명하였다. 다음과 같은 내용이다.
- 항등원이 있는 실수 혹은 복소수 위의 노름이 주어진 나눗셈 대수로서, 그 노름이 항상 을 만족하는 것은 항상 (대수로서) 실수, 복소수, 사원수, 팔원수 중 하나와 동형이다.[1][2]
페르디난트 게오르크 프로베니우스에 의해 시작된 실수체 위의 나눗셈 대수를 분류하는 문제는[3] 후르비츠가 이 정리 등으로 이어받아 발전시켰고[4], 막스 초른이 교대환(alternative ring)의 연구로 이에 대한 일반적인 결과를 얻었다.[5]
아돌프 후르비츠는 이 정리를 즉시 응용하여 브라마굽타-피보나치 항등식, 오일러의 네 제곱수 항등식이나 데겐의 여덟 제곱수 항등식과 같은 항등식은 미지수가 여덟 개보다 더 많은 경우에 대해서는 성립할 수 없다는 사실을 증명하기도 했다.[6]
각주 편집
- ↑ JA Nieto and LN Alejo-Armenta (2000). "Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis". Arxiv preprint hep-th/0005184. arXiv:hep-th/0005184.
- ↑ Kevin McCrimmon (2004). "Hurwitz's theorem 2.6.2". A taste of Jordan algebras. Springer. p. 166. ISBN 0387954473. "Only recently was it established that the only finite-dimensional real nonassociative division algebras have dimensions 1,2,4,8; the algebras were not classified, and the proof was topological rather than algebraic."
- ↑ Georg Frobenius (1878). "Über lineare Substitutionen und bilineare Formen". J. Reine Angew. Math. 84: 1–63.
- ↑ Hurwitz, A. (1898). "Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln (On the composition of quadratic forms of arbitrary many variables)" (독일어). Nachr. Ges. Wiss. Göttingen: 309–316. JFM 29.0177.01.
- ↑ Max Zorn (1930). "Theorie der alternativen Ringe". Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 8: 123–147.
- ↑ Joe Roberts (1992). "Square identities". Lure of the integers. Cambridge University Press. ISBN 088385502X.