힐베르트 다항식

대수기하학에서 힐베르트 다항식(Hilbert多項式, 영어: Hilbert polynomial)은 대수다양체의 함수 대수의 모양을 담고 있는, 생성함수의 일종이다.

정의

힐베르트 급수와 힐베르트 함수

체 $K$ 위의 등급 벡터 공간 $S$가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.

$S=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }S_{i}$

$\dim _{K}S_{i}<\aleph _{0}\forall i\in \mathbb {N}$

$S$의 힐베르트 급수(Hilbert級數, 영어: Hilbert series) 또는 힐베르트-푸앵카레 급수(Hilbert-Poincaré級數, 영어: Hilbert–Poincaré series)는 다음과 같은 형식적 멱급수이다.

$\operatorname {HS} _{S}(t)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(\dim _{K}S_{i})t^{i}\in \mathbb {Z} [[t]]$

$S$의 힐베르트 함수(Hilbert函數, 영어: Hilbert function)는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.^:42:51

$\operatorname {HF} _{S}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$

$\operatorname {HF} _{S}\colon i\mapsto \dim _{K}S_{i}$

힐베르트 다항식

만약 다음 조건을 만족시키는 다항식 $\operatorname {HP} _{S}(t)\in \mathbb {Q} [t]$ 및 자연수 $r\in \mathbb {N}$가 존재한다면, 이를 $S$의 힐베르트 다항식이라고 한다.^:42:52

$\operatorname {HP} _{S}(i)=\operatorname {HF} _{S}(i)\forall i\geq r$

위 조건을 만족시키는 최소의 $r$를 $S$의 힐베르트 정칙성(Hilbert正則性, 영어: Hilbert regularity)이라고 한다.

성질

가법성

힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 짧은 완전열에 대하여 가법적이다. 즉, 체 $K$ 위의 세 개의 유한 생성 등급 가환 결합 대수 $A$, $B$, $C$가 주어졌고, 이들이 등급 $K$-가군의 짧은 완전열

$0\to A\to B\to C\to 0$

을 이룬다면, 다음이 성립한다.

$\operatorname {HS} _{A}(t)+\operatorname {HS} _{C}(t)=\operatorname {HS} _{B}(t)$

$\operatorname {HP} _{A}(t)+\operatorname {HP} _{C}(t)=\operatorname {HP} _{B}(t)$

이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

힐베르트-세르 정리

$S$가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 등급 가환 단위 결합 대수라고 하자. 힐베르트-세르 정리(영어: Hilbert–Serre theorem)에 따르면, $S$는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.^{:42, Theorem 1.11:51, Theorem I.7.5}

구체적으로, 생성원들이 $s_{1},\dots ,s_{h}\in S_{1}$라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 $P_{S}(t)$는 양의 정수 계수의 다항식이다.

$\operatorname {HS} _{S}(t)=P_{S}(t)\prod _{k=1}^{h}(1-t^{\deg s_{i}})^{-1}$

$P_{S}=\sum _{i=0}^{\deg P_{S}}P_{i}t^{i}\in \mathbb {Z} [t]$

만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.

$\operatorname {HS} _{S}(t)={\frac {P_{S}(t)}{(1-t)^{h}}}=P_{S}(t)\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {i+h-1}{h-1}}t^{i}$

따라서,

$\operatorname {HF} _{S}(i)=\sum _{j=0}^{\deg P_{S}}P_{j}{\binom {i-j+h-1}{h-1}}$

이다. 이는 $i$에 대한 다항식이므로,

$\operatorname {HP} _{S}(t)=\sum _{j=0}^{\deg P_{S}}P_{j}{\frac {(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots (t-j)}{(h-1)!}}\in \mathbb {Q} [t]$

로 놓으면

$\operatorname {HF} _{S}(i)=\operatorname {HP} _{S}(i)\quad \forall i\geq \deg P_{S}+1-h$

이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 단위 결합 대수의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 $\deg P_{S}+1-h$ 이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

응용

대수기하학에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

사영 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 $n$차원 사영 공간

$\mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$

은 다항식 등급환 $K[x_{0},\dots ,x_{n}]$의 사영 스펙트럼이며, 그 속의 사영 대수다양체 $\operatorname {Proj} (K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I)$는 동차 아이디얼 $I\subset K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체

$X=\operatorname {Proj} (K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I)$

의 동차 좌표환 $K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/I$의 힐베르트 다항식 $\operatorname {HP} _{X}$는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.

• $\operatorname {HP} _{X}$의 (다항식으로서의) 차수는 $X$의 차원과 같다.^{:51, Theorem I.7.5}
• $\operatorname {HP} _{X}$의 최고차항의 계수는 $X$의 (대수다양체로서의) 차수와 $X$의 차원의 계승의 비이다.^:52–54

  $\operatorname {HP} _{X}(d)={\frac {\deg X}{(\dim X)!}}d^{\dim X}+{\mathcal {O}}(d^{\dim X-1})$

리만-로흐 문제

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 비특이 대수다양체 $X$ 위에 선다발 ${\mathcal {L}}$이 주어졌다고 하자. 이 경우, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라,

$\chi ({\mathcal {L}}^{\otimes n})=\int _{X}\exp(c_{1}({\mathcal {L}}^{\otimes n})\operatorname {Td} (X)=\int _{X}\sum _{i=1}^{\dim X}{\frac {n^{i}}{i!}}c_{1}({\mathcal {L}})\operatorname {Td} (X)=P(n)\in \mathbb {Q} [n]$

이며, $P(n)$은 차수 $\dim X$의 유리수 계수 다항식이다. 만약 ${\mathcal {L}}$이 매우 풍부한 선다발이라면, 충분히 큰 $n$에 대하여 $H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=0\forall i>0$이며, 또한 사영 공간으로의 매장

$\iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{k}$

$\iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {L}}$

이 존재한다. $P(n)$은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.^{:170, Exercise II.7.6}

$\chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)\qquad \forall n$

$\dim \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n}=\chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)\qquad \forall n\gg 1$

이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 $X$의 오일러 지표가 된다.

$\chi (X)=\operatorname {HP} _{\iota (X)}(0)$

보다 일반적으로, 만약 ${\mathcal {L}}$이 풍부한 선다발이라면, 여전히 $\chi (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

힐베르트-사뮈엘 함수

뇌터 가환 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$의 유한 생성 가군 $M$ 및 $R$의 으뜸 아이디얼 ${\mathfrak {q}}$가 주어졌을 때, 등급 $R$-가군

$\bigoplus _{i=0}^{\infty }{\mathfrak {q}}^{i}M/{\mathfrak {q}}^{i+1}M$

을 정의하자. (여기서 ${\mathfrak {m}}^{0}=R$로 정의한다.) 이 경우, $R$-가군을 가군의 길이로 측정한다면, 힐베르트-사뮈엘 함수(영어: Hilbert–Samuel function)

$\operatorname {HF} _{M}^{\mathfrak {q}}(i)=\operatorname {length} \left({\mathfrak {q}}^{i}M/{\mathfrak {q}}^{i+1}M\right)$

를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 힐베르트-사뮈엘 다항식(영어: Hilbert–Samuel polynomial)이라고 한다.^{:272, Proposition 12.2}

힐베르트-사뮈엘 다항식 $\operatorname {HP} _{M}^{\mathfrak {q}}(t)$의 차수는 $M$의 크룰 차원보다 1만큼 작다.^{:274, Theorem 12.4}

$\deg \operatorname {HP} _{M}^{\mathfrak {q}}(t)=\dim M-1$

예

사영 공간

사영 공간의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.^{:52, Proposition I.7.6(c)} 다항식환

$R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$

에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.

$\dim _{K}R_{d}={\binom {n+d}{n}}={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)$

따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.

$\operatorname {HP} _{R}(d)={\frac {1}{n!}}(d+n)(d+n-1)\dotsm (d+1)={\frac {1}{n!}}d^{n}+\cdots$

대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 $n$차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

여차원 1의 초곡면

다항식환

$R=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$

속에서, $k$차 동차다항식 $f\in R_{k}$로 생성되는 동차 아이디얼 $(f)$에 대한 몫등급환 $R/(f)$의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.^{:52, Proposition I.7.6(d)} 짧은 완전열

$0\to R(-k){\xrightarrow {\cdot f}}R\to R/(f)\to 0$

으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

$\operatorname {HP} (d)=\dim _{K}(R/(f))_{d}=\dim _{K}R_{d}-\dim _{K}R_{d-k}={\binom {n+d}{n}}-{\binom {n+d-k}{n}}={\frac {k}{(n-1)!}}d^{n-1}+{\mathcal {O}}(d^{n-2})$

이를 대수기하학적으로 해석하면 $k$차 동차다항식의 영점 집합은 $n$차원 사영 공간 속에서 $n-1$차원 $k$차 사영 대수다양체를 정의한다.

대수 곡선

종수 $g$의 비특이 대수 곡선 $C$ 위의 매우 풍부한 선다발 ${\mathcal {L}}$을 통하여, $C$를 사영 공간에 매장하였다고 하자.

$\iota \colon C\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}$

${\mathcal {L}}=\iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)$

이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.

$\operatorname {HF} _{C}(t)=(\deg {\mathcal {L}})t+(g-1)$

여기서 $\deg {\mathcal {L}}$은 ${\mathcal {L}}$을 정의하는 인자의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

대수 곡면

산술 종수 $p_{\text{a}}=\chi (X;{\mathcal {O}}_{X})-1$의 대수 곡면 $X$ 위에, 매우 풍부한 선다발 ${\mathcal {L}}$이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 베유 인자가 $D$라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 사영 공간으로의 매장

$\iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{\dim \Gamma (X,{\mathcal {L}})-1}$

$\iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {L}}$

이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 리만-로흐 정리에 따라서 다음과 같다.

$\operatorname {HP} _{\iota (X)}(n)=\chi (X;{\mathcal {L}}^{\otimes n})={\frac {1}{2}}n^{2}D.D-{\frac {1}{2}}nD.K+p_{\text{a}}(X)+1$

여기서 $K_{X}$는 $X$의 표준 인자이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 자기 교차수 $D.D$이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 $\iota ^{*}{\mathcal {O}}(1)$과 표준 인자의 교차수의 절반이다.

참고 문헌

• Schenck, Hal (2003). 《Computational Algebraic Geometry》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53650-9. MR 011360. 
• Stanley, Richard (1978). 《Hilbert functions of graded algebras》. 《Advances in Mathematics》 (영어) 28. 57–83쪽. doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2. MR 0485835. 

외부 링크

• Danilov, V.I. (2001). “Hilbert polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert series”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Siegel, Charles (2008년 1월 9일). “The Hilbert polynomial”. 《Rigorous Trivialities》 (영어). 
• Siegel, Charles (2008년 10월 9일). “The Hilbert polynomial explained”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).