가법 함수

수론에서 가법 함수(加法函數, 영어: additive function)는 로그 함수와 유사한 항등식을 만족시키는 수론적 함수이다.

정의

함수 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$가 주어졌다고 하자.

• 만약 임의의 $m,n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, $\gcd\{m,n\}=1$일 경우에 $f(mn)=f(m)+f(n)$이라면, $f$를 가법 함수라고 한다.^:257
• 만약 임의의 $m,n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, $f(mn)=f(m)+f(n)$이라면, $f$를 완전 가법 함수라고 한다.

성질

만약 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$가 가법 함수라면, $f(1)=0$이다.^:257

만약 $f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C}$가 가법 함수라면, $n\in \mathbb {Z} ^{+}$의 소인수 분해가

$n=\prod _{p}p^{n_{p}}$

라면, 다음이 성립한다.^:258

$f(n)=\sum _{p}f(p^{n_{p}})$

예

다음과 같은 함수들은 완전 가법 함수이다.

• 양의 정수로 제한된 로그 함수 $n\mapsto \ln n$
• 중복도를 고려한 소인수의 개수 $n\mapsto \Omega (n)$ (OEIS의 수열 A001222)
• 중복도를 고려한 소인수의 합 $n\mapsto \operatorname {sopfr} (n)$ (OEIS의 수열 A001414)

다음과 같은 함수들은 가법 함수이지만, 완전 가법 함수가 아니다.

• 서로 다른 소인수의 개수 $n\mapsto \omega (n)$ (OEIS의 수열 A001221)
• 서로 다른 소인수의 합 $n\mapsto \operatorname {sopf} (n)$ (OEIS의 수열 A008472)

같이 보기

• 곱셈적 함수

외부 링크

• “Additive arithmetic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Additive function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.