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대수적 수론에서, 가우스 정수(Gauß整數, 영어: Gaussian integer)는 실수부와 허수부가 모두 정수인 수이다. 허수 이차 수체 대수적 정수환이다.

목차

가우스 소수편집

가우스 정수의 환은 유클리드 정역이며, 따라서 유일한 소인수 분해가 가능하다. 가우스 소수가우스 정수 가운데 가우스 정수의 곱으로 나타내지 못하는 것을 말한다.

예를 들어, (3+i)=(2-i)(1+i) 이므로 (3+i)는 가우스 소수가 아니다.

하지만 (1+i)은 어떠한 두 가우스 정수의 곱으로도 나타낼 수 없다.

가우스 소수 예시 : (1+i), (1+2i), (2+i), (1+4i), (2+3i), (3+2i), (4+i), (1+6i), (2+5i), (4+5i), (5+6i), ...

가우스 소수편집

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47 ...

자연수의 경우 일반 소수중에서 a2+b2 (a, b는 자연수)로 표현 가능한 소수는 가우스 소수에서 제외된다.

(a+bi)(a-bi)=a2+b2

4k+1의 꼴의 소수들은 페르마의 두 제곱수 정리에 의하여 두 제곱수의 합으로 표현되어 가우스 소수에서 제외되기 때문에 자연수 소수이면서 동시에 가우스 소수인 소수들은 4k+3꼴의 형태를 갖는다.

예를 들면, '13'은 소수이지만, 13=(2+3i)(2-3i) 로 표기 가능하기 때문에 가우스 소수가 되지 않는다.

하지만 '7'은 어떠한 두개 이상의 가우스 정수의 곱으로도 나타낼 수 없다.

나눗셈편집

가우스 정수를 가우스 정수로 나누면 실수부와 허수부가 모두 유리수인 수가 된다.

페르마의 두 제곱수 정리편집

가우스 정수를 사용하면 이 정리를 증명할 수 있다. (관련 글 가기)

참고 문헌편집