결맞음

결맞음(영어: coherence 코히어런스^[*])은 두 파동이 간섭을 일으킬 수 있는 성질이다. 단일 광원에서 나온 두 개의 단색광 빔은 항상 간섭을 일으킨다.그러나 실제 광원은 완전히 단색광이 아니기 때문에 완전히 결맞을 수는 없지만, 부분적으로만 결맞을 수 있다.

상대 위상이 일정한 두 파동은 코히런트하다고 말한다. 결맞음의 정도는 간섭 가시도(interference visibility)를 통해 쉽게 측정할 수 있는데, 이는 위상을 변화시키면서 입력된 파동에 비해 생성된 간섭 무늬의 크기를 살펴보는 방식이다. 두 파동이 간섭할 때, 이들은 서로 합쳐져 원래의 파동보다 더 큰 진폭을 가지는 파동을 만들어내거나(보강 간섭), 서로를 상쇄시켜 최소 진폭의 파동을 만들어낸다(상쇄 간섭). 상쇄 간섭의 경우, 진폭이 완전히 0이 될 수도 있다.^:286  부분적으로 결맞은 파동은 완전한 보강간섭과 상쇄간섭의 중간에 위치하기 때문에, 이와 같은 성질을 이용하여 결맞음 정도를 논할 수 있는 것이다. 보다 정밀한 수학적 정의는 상관 함수 통해 이루어진다. 보다 넓은 의미에서 코히런스는 전자기장이나 양자 파동 패킷(quantum wave packet)과 같은 장(field)이 시간 또는 공간상 서로 다른 지점에서 얼마나 통계적으로 유사한지를 설명하는 개념이다.

이 성질은 광학에서 등장하는 영의 이중슬릿 실험과 관계되는 개념이지만 파동과 관련된 모든 분야, 예를 들면, 음향학, 전자공학, 신경과학 및 양자역학 분야에도 사용된다. 홀로그래피 등에 응용된다.

정성적 설명

하나의 광원으로부터 두 슬릿을 동시에 조명하면 간섭 무늬가 나타난다. 그림에서 광원은 좌측 멀리 위치해 있으며, 광선을 평행하게 만드는 콜리메이터(collimator) 뒤에 놓여 있다. 이 구조는 광원이 만들어내는 파동이 동일한 위상 상태, 즉 같은 파동 주기의 동일한 지점에서 두 슬릿에 도달하도록 보장해 준다. 다시 말해, 광원이 방출한 파동이 두 슬릿을 통과할 때 위상이 일치하게 되며, 이러한 조건은 코히런스를 형성한다. 그 결과 두 슬릿을 통과한 빛은 간섭을 일으키고, 화면에는 간섭 무늬가 나타나게 된다.

결맞음은 간섭 무늬의 가시도(visibility) 또는 명암 대비(contrast)를 결정하는 요인이다. 예를 들어, 이중 슬릿 실험에서 뚜렷한 간섭 무늬를 얻기 위해서는 두 슬릿 모두 코히런트한 파동으로 조명되어야 하는데, 이는 오른쪽 그림을 통해 잘 설명된다. 콜리메이션(collimation)되지 않은 큰 광원이나 여러 주파수가 혼합된 광원은 결맺음이 낮아지기 때문에 간섭 무늬의 가시도가 떨어지게 된다.^:264

결맺음에는 크게 다음의 두 종류가 있다.

• 공간 결맺음(spatial coherence)은 서로 다른 공간 지점, 즉 가로 방향이나 세로 방향에서 관찰되는 파동 간의 상관 관계를 의미한다.
• 시간 결맺음(temporal coherence)은 서로 다른 시점에서 관측되는 파동들 간의 상관 관계를 뜻한다.

이 두 가지는 마이컬슨-몰리 실험과 영의 간섭 실험에서도 관찰된다. 예를 들어, 마이컬슨 간섭계에서 간섭 무늬를 얻은 후, 하나의 거울을 광빔 분할기에서 점점 멀리 이동시키면 빛의 경로가 길어지고 그에 따라 간섭 무늬는 점점 흐려지다가 결국 사라지게 된다. 이는 시간 코히런스의 한 예이다. 마찬가지로, 이중 슬릿 실험에서 두 슬릿 사이의 간격을 점점 넓히면 공간 코히런스가 점차 줄어들고 결국 간섭 무늬가 사라진다. 이 두 경우 모두에서, 경로차가 결맺음 길이(coherence length)를 넘어서게 되면 간섭 무늬의 진폭이 서서히 사라진다.

수학적 정의

두 신호 $x(t)$와 $y(t)$ 사이의 결맺음 함수(coherence function)는 다음과 같이 정의된다.

:$\gamma _{xy}^{2}(f)={\frac {|S_{xy}(f)|^{2}}{S_{xx}(f)S_{yy}(f)}}$

여기서:

• $S_{xy}(f)$는 두 신호의 교차 스펙트럼 밀도,
• $S_{xx}(f)$와 $S_{yy}(f)$는 각각 $x(t)$와 $y(t)$의 파워 스펙트럼 밀도이다.

교차 스펙트럼 밀도와 전력 스펙트럼 밀도는 각각 교차 상관 함수(cross-correlation)와 자기 상관 함수(autocorrelation)의 푸리에 변환이다. 이를 설명하자면:

• 교차 상관은 두 신호 사이의 시점을 달리하며 유사도를 측정한다.
• 자기 상관은 각각의 신호가 다른 시간에서 자신과 얼마나 유사한지 측정한다.

만약 $x(t)$와 $y(t)$가 공간 함수라면, 교차 상관은 서로 다른 공간 지점에서 신호의 유사성을 측정하고, 자기 상관은 일정한 분리 거리에서 신호가 자신과 얼마나 유사한지 측정한다. 이 경우, 결맺음 함수는 파수 또는 공간 주파수의 함수가 된다.

일치 함수 $\gamma _{xy}^{2}(f)$는 다음과 같은 구간에서 변한다:

$0\leq \gamma _{xy}^{2}(f)\leq 1$

• $\gamma _{xy}^{2}(f)=1$이면 신호들이 완벽하게 상관되거나 선형적으로 관련되어 있다는 뜻이다.
• $\gamma _{xy}^{2}(f)=0$이면 신호들이 상관이 없다는 뜻이다.

선형 시스템의 경우, $x(t)$는 입력이고 $y(t)$는 출력일 때, 일치 함수는 전체 주파수 스펙트럼에서 단위가 된다. 그러나 비선형성이 존재하면 일치 함수는 주어진 한도 내에서 변한다.