고본 삼각형

수학의 미해결 문제

k개의 직선들로 겹치지 않는 삼각형을 몇개까지 만들 수 있는가?
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고본 삼각형은 이산기하학의 미해결 난제로, 일본의 퍼즐 전문가인 고본 후지무라에 의해 제시되었다. 이 문제는 k개의 직선을 이용하여 만들 수 있는 겹치지 않는 삼각형의 개수에 관한 문제이다. 문제의 변수들은 유클리드 평면이 아닌 사영평면에 기초하며, 삼각형은 어떠한 직선에 의해서도 분단되어 있어서는 안된다.

사부로 다무라는 k(k-2)/3을 넘지 않는 최대의 정수가 k개의 직선에 의해 형성되는 고본 삼각형의 개수의 상계임을 증명하였다.^[1] 2007년도에는, 요하네스 바더와 질 클레망이 직선의 개수 k가 (mod 6)으로 0 또는 2일 경우 고본 삼각형의 개수가 알려진 상계보다 무조건 작음을 증명함으로써 더욱 훌륭한 상계를 찾아내었다.^[2] 즉, 삼각형의 최대개수는 다무라의 상계보다 1작은 수라고 할 수 있다. 현재까지 밝혀진 고본삼각형의 완벽한 해는 k=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 17일 경우이며,^[3] k=10, 11 그리고 12인 경우에는 상계보다 1 작은 값이 가장 적당한 값으로 알려져 있다.

어떠한 k값에 대해 완벽한 해가 주어졌을 때, 다른 몇 몇 고본 삼각형의 해들은 $k_{n}$ 이 다음 점화식을 만족할 경우 구해질 수 있다.

k_{n+1}=2k_{n}-1

이 점화식을 만족하는 $k_{n}$ 값들에 대해서는 D.Forge와 J.L. Ramirez Alfonsin이 개발한 방법을 통해 고본 삼각형의 개수를 찾을 수 있다.^[4] 예를 들어 k=3에 대한 해를 이용하여 k=3, 5, 9, 17, 33, 65,... 에 대한 해를 찾아낼 수 있다.

k	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	OEIS
타무라의 상계 N(k)	1	2	5	8	11	16	21	26	33	40	47	56	65	74	85	96	107	120	133	A032765
클레멩 및 베이더의 상계	1	2	5	7	11	15	21	26	33	39	47	55	65	74	85	95	107	119	133	-
가장 잘 알려진 해	1	2	5	7	11	15	21	25	32	38	47	53	65	72	85	93	104	115	130	A006066