교류 회로 란 회로 내의 전력 공급원으로부터 발생하는 전류의 양과 방향이 주기적으로 바뀌는 회로를 말한다. 교류 의 종류로는 사인파, 삼각파, 사각파 등이 있으며 그 중에서도 사인파가 가장 전형적인 교류라 할 수 있다. 이 때, 삼각파나 사각파를 비롯해 주기성을 띠는 임의의 전류는 사인파의 합성을 이용해 생성가능하다.
축전기 회로 전압을 V, 축전기의 전기용량을 C, 축전기의 전하량을 Q라 하면
Q
=
C
V
=
C
V
M
sin
ω
t
{\displaystyle Q=CV=CV_{M}\sin \omega t}
따라서 축전기에 흐르는 전류는
I
=
d
Q
d
t
=
C
V
M
ω
cos
ω
t
{\displaystyle I={\frac {dQ}{dt}}=CV_{M}\omega \cos \omega t}
가 된다. 위의 식에서도 확인할 수 있듯, 축전기가 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.
코일 회로 전압을 V, 코일의 유도용량을 L이라 하면
L
d
I
d
t
=
V
M
sin
ω
t
{\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}=V_{M}\sin \omega t}
이므로 시간에 따른 전류를 아래 식으로 표현할 수 있다.
I
=
−
V
M
ω
L
cos
ω
t
{\displaystyle I=-{\frac {V_{M}}{\omega L}}\cos \omega t}
역시 축전기만 연결된 경우와 마찬가지로 코일이 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.
RLC 회로 저항체의 저항, 축전기의 전기용량, 코일의 유도용량이 각각 R, C, L일 때 저항체, 축전기, 코일을 직렬로 연결한 경우에 대해 키르히호프 정리를 적용하면
Q
C
+
R
d
Q
d
t
+
L
d
2
Q
d
t
2
=
0
{\displaystyle {\frac {Q}{C}}+R{\frac {dQ}{dt}}+L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}=0}
이 된다. 이 미분방정식의 해는 아래와 같다.
Q
=
Q
M
e
−
R
2
L
t
cos
1
L
C
−
(
R
2
L
)
2
t
{\displaystyle Q=Q_{M}e^{-{\frac {R}{2L}}t}\cos {\sqrt {{\frac {1}{LC}}-({\frac {R}{2L}})^{2}}}t}
1
L
C
>
R
2
4
L
2
{\displaystyle {\frac {1}{LC}}>{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}
Q
=
Q
M
e
−
R
2
L
t
{\displaystyle Q=Q_{M}e^{-{\frac {R}{2L}}t}}
1
L
C
=
R
2
4
L
2
{\displaystyle {\frac {1}{LC}}={\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}
Q
=
Q
M
e
−
(
R
2
L
+
R
2
4
L
2
−
1
L
C
)
t
{\displaystyle Q=Q_{M}e^{-({\frac {R}{2L}}+{\sqrt {{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}-{\frac {1}{LC}}}})t}}
1
L
C
<
R
2
4
L
2
{\displaystyle {\frac {1}{LC}}<{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}
한편, 이 회로에서 저항이 없는 경우, 즉 R=0인경우의 해는
Q
=
Q
M
e
−
R
2
L
t
cos
1
L
C
t
{\displaystyle Q=Q_{M}e^{-{\frac {R}{2L}}t}\cos {\sqrt {\frac {1}{LC}}}t}
이다. 이때 회로에서는 에너지 손실이 일어나지 않고 축전기는 영원히 충전과 방전을 반복하는데 이때의 진동수를 고유진동수라 하며 그 값에
2
π
{\displaystyle 2\pi }
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ω
0
2
=
1
L
C
{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {1}{LC}}}
RLC 회로 RLC회로에 교류전압이 걸리는 경우 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.
Q
C
+
R
d
Q
d
t
+
L
d
2
Q
d
t
2
=
V
M
sin
ω
t
{\displaystyle {\frac {Q}{C}}+R{\frac {dQ}{dt}}+L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}=V_{M}\sin \omega t}
위 이차 미분방정식의 특수해는
Q
=
V
(
ω
2
L
−
1
C
)
sin
ϕ
−
ω
R
cos
ϕ
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle Q={\frac {V}{(\omega ^{2}L-{\frac {1}{C}})\sin \phi -\omega R\cos \phi }}\cos(\omega t+\phi )}
tan
ϕ
=
1
ω
C
−
ω
L
R
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {{\frac {1}{\omega C}}-\omega L}{R}}}
이다. 앞에서 우변이 0일 때에 대해서 구한 일반해를
Q
g
(
t
)
{\displaystyle Q_{g}(t)}
Q
=
V
(
ω
2
L
−
1
C
)
sin
ϕ
−
ω
R
cos
ϕ
cos
(
ω
t
+
ϕ
)
+
Q
g
(
t
)
{\displaystyle Q={\frac {V}{(\omega ^{2}L-{\frac {1}{C}})\sin \phi -\omega R\cos \phi }}\cos(\omega t+\phi )+Q_{g}(t)}
tan
ϕ
=
1
ω
C
−
ω
L
R
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {{\frac {1}{\omega C}}-\omega L}{R}}}
하지만 이때,
Q
g
(
t
)
{\displaystyle Q_{g}(t)}
Q
g
(
t
)
{\displaystyle Q_{g}(t)}
I
=
V
R
2
+
(
1
ω
C
−
ω
L
)
2
sin
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle I={\frac {V}{\sqrt {R^{2}+({\frac {1}{\omega C}}-\omega L)^{2}}}}\sin(\omega t+\phi )}
tan
ϕ
=
1
ω
C
−
ω
L
R
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {{\frac {1}{\omega C}}-\omega L}{R}}}
이때,
X
C
=
1
ω
C
,
X
L
=
ω
L
{\displaystyle X_{C}={\frac {1}{\omega C}},X_{L}=\omega L}
I
=
V
R
2
+
(
X
C
−
X
L
)
2
sin
(
ω
t
+
ϕ
)
{\displaystyle I={\frac {V}{\sqrt {R^{2}+(X_{C}-X_{L})^{2}}}}\sin(\omega t+\phi )}
tan
ϕ
=
X
C
−
X
L
R
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {X_{C}-X_{L}}{R}}}
으로 바꿀 수 있으며 이 때
Z
=
R
2
+
(
X
C
−
X
L
)
2
{\displaystyle Z={\sqrt {R^{2}+(X_{C}-X_{L})^{2}}}}
를 RLC회로의 임피던스라 정의한다.
RLC회로는 저항이 Z인 회로에 V의 전압이 걸렸을 때와 유사한 모양을 보인다.
RLC회로에서
X
C
=
X
L
{\displaystyle X_{C}=X_{L}}
w
=
w
0
=
1
L
C
{\displaystyle w=w_{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}
인 경우를 공명이라 한다. 공명상태에서는 전압과 전류의 위상차가 0이 되고, 전류의 최댓값이 가장 커진다.
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