다중로그

수학에서, 다중로그(多重log, 영어: polylogarithm 폴리로거리듬[*]) 또는 폴리로그로그를 일반화한 특수 함수이다.

역사편집

이중로그는 17세기부터 수학계에 등장하기 시작하였다.[1] 존 랜던(영어: John Landen)은 이중로그에 대한 랜던 항등식을 1760년 증명하였다. 레온하르트 오일러닐스 헨리크 아벨은 이중로그에 대한 아벨 항등식을 1826년에 증명하였으나, 이 논문은 사후에 1881년에야 출판되었다.[2]

일반적인 다중로그는 종키에르(프랑스어: A. Jonquière)가 1889년 다루었다.[3] 이 때문에 다중로그는 종키에르 함수라고 불리기도 한다.

정의편집

임의의 복소수   인 복소수  에 대하여, 다중로그  는 다음과 같은 급수로 정의된다.

 

이는 모든  에 대하여 해석적 연속으로 정칙적으로 확장할 수 있다. 이 경우 극점이나 본질적 특이점은 존재하지 않지만, 일부  에서는 분지절단을 갖는다. 이 경우 분지점은   이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

 인 경우 이중로그(二重log, 영어: dilogarithm),  인 경우 삼중로그(三重log, 영어: trilogarithm) 따위의 이름을 사용한다.

성질편집

정의에 따라,  인 경우 다중로그는 단순히 리만 제타 함수이다.

 

마찬가지로,  인 경우 다중로그는 디리클레 에타 함수이다.

 

다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다. 이는 급수 정의로부터 쉽게 유도된다.

 

낮은 차수의 다중로그편집

1중로그는 다음과 같이 (통상적) 로그로 주어진다. (이 때문에 ‘다중로그’라는 이름이 붙었다.)

 

도함수 공식을 사용하여, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 유리 함수임을 증명할 수 있다.

 

여기서  제2종 스털링 수이다.

적분 표현편집

다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 통계역학에서 보스-아인슈타인 통계페르미-디랙 통계를 다룰 때 등장한다. 보스-아인슈타인 적분 표현은 다음과 같다.

 

페르미-디랙 적분 표현은 다음과 같다.

 

참고 문헌편집

  1. Maximon, L.C. (2003). “The dilogarithm Function for complex argument”. 《Proceedings of the Royal Society A》 (영어) 459 (2039): 2807–2819. doi:10.1098/rspa.2003.1156. Zbl 1050.33002. 
  2. Abel, N.H. (1881) [1826]. 〈Note sur la fonction   (PDF). Sylow, L.; Lie, S. 《Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II》 (프랑스어). Christiania: Grøndahl & Søn. 189–193쪽.  |장=에 지움 문자가 있음(위치 22) (도움말)
  3. Jonquière, A. (1889). “Note sur la série  . 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 17: 142–152. JFM 21.0246.02.  |title=에 지움 문자가 있음(위치 19) (도움말)

외부 링크편집