응집물질물리학 에서 드루드 모형 (Drude model )은 도체 를 다루는 간단한 모형이다. 도체 안의 자유 전자 가 무한히 단단한 양이온에 부딪치면서 움직이는 것으로 가정한다.
드루드 모형의 전자 (청색) 지속적으로 정적이고 무거운 격자의 이온들 사이에서 운동하고 있다. (적색).
드루드 모형은 전자의 운동 방정식 에 관한 두 가지 중요한 결과를 도출해 낸다.
d
d
t
p
(
t
)
=
q
E
−
p
(
t
)
τ
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},}
그리고 전류 밀도
J
{\displaystyle J}
E
{\displaystyle E}
J
=
(
n
q
2
τ
m
)
E
.
{\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}
여기서
t
{\displaystyle t}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
τ
{\displaystyle \tau }
옴의 법칙 이 왜 성립하는지를 유도해 낼 수있다.
직류 전류 편집 드루드 모형을 가장간단히 분석해 보려면 일단 전기장
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
τ
{\displaystyle \tau }
d
p
{\displaystyle d\mathbf {p} }
이때 전자는
τ
{\displaystyle \tau }
d
⟨
p
⟩
=
q
E
τ
.
{\displaystyle d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}
지난 충돌동안, 이 전자는 앞으로 되 튀긴것 같이 뒤로 튕겨 이전에 전자의 운동량에 기여된 량은 상쇄된다. 따라서
⟨
p
⟩
=
q
E
τ
.
{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}
이를 치환하여
⟨
p
⟩
=
m
⟨
v
⟩
,
{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}
J
=
n
q
⟨
v
⟩
,
{\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}
이전에 언급한 옴의 법칙의 결과를 이용하여 아래와 같이 표현 할 수 있다.
J
=
(
n
q
2
τ
m
)
E
.
{\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}
드루드 모형에 따른 분산 편집 매질이 절연체 일 때 전자는 결합력 때문에 분자 에 붙어 있으므로, 전자가 상수 k인 용수철 끝에 달린 것이라고 생각한다면 변위 y, 전자 질량 m, 고유진동수
ω
0
=
k
m
{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
E
→
=
E
0
y
^
e
i
(
k
x
−
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {E}}=E_{0}{\hat {y}}e^{i(kx-\omega t)}}
이므로 위치에 따른 전자의 방정식은 아래와 같이 나타난다.
y
¨
=
−
σ
y
˙
−
ω
0
2
y
+
E
m
{\displaystyle {\ddot {y}}=-\sigma {\dot {y}}-\omega _{0}^{2}y+{{E} \over {m}}}
이때
ω
0
2
=
k
/
m
{\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m}
E
=
E
0
exp
(
−
i
ω
t
)
{\displaystyle E=E_{0}\exp(-i\omega t)}
라고 놓으면 위의 방정식을 풀 수 있다.
이에 따라 y에 대해 식을 풀면 y의 값은 아래와 같다.
y
0
=
q
/
m
(
ω
0
2
−
ω
2
)
−
i
σ
ω
)
E
0
{\displaystyle y_{0}={{q/m} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\sigma \omega )}}E_{0}}
이때 쌍극자 모멘트는 위에서 구한 y값에 q를 곱한 값이므로 쌍극자 모멘트는 아래와 같다.
P
=
q
y
0
=
q
2
/
m
(
ω
0
2
−
ω
2
)
−
i
σ
ω
)
E
0
{\displaystyle P=qy_{0}={{q^{2}/m} \over {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\sigma \omega )}}E_{0}}
방금까지는 전자에 속박되어 있는 하나의 전자에 대해서만 공식을 전개했지만, 일반적인 원자내에 있는 전자에 대해 공식을 적용시키면 다음과 같다.
P
=
N
q
2
m
Σ
g
j
1
(
ω
j
2
−
ω
2
)
−
i
r
j
ω
)
E
0
,
Σ
g
j
=
Z
{\displaystyle P={{Nq^{2}} \over {m}}\Sigma g_{j}{1 \over {(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-ir_{j}\omega )}}E_{0},\Sigma g_{j}=Z}
여기서 N은 단위부피방 분자의 개수이고, Z는 분자당 전자의 개수,
g
j
{\displaystyle g_{j}}
ω
j
{\displaystyle \omega _{j}}
σ
j
{\displaystyle \sigma _{j}}
감쇠 인자 (damping factor )이다.
이제, 전기장
D
→
=
ε
0
E
→
+
P
→
=
ε
E
→
{\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}=\varepsilon {\vec {E}}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
=
ε
0
[
1
+
N
q
2
m
ε
0
∑
f
j
(
ω
j
2
−
ω
2
)
−
i
γ
j
ω
]
{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}[1+{\frac {Nq^{2}}{m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma _{j}\omega }}]}
k
=
ε
μ
0
ω
{\displaystyle k={\sqrt {\varepsilon \mu _{0}}}\omega }
일반적으로 ε의 두 번째 항이 작으므로 아래처럼 근사할 수 있다.
k
≅
ω
c
[
1
+
N
q
2
2
m
ε
0
∑
f
j
(
ω
j
2
−
ω
2
)
−
i
γ
j
ω
]
{\displaystyle k\cong {\frac {\omega }{c}}[1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma _{j}\omega }}]}
따라서 굴절률은 다음과 같다.
n
≅
[
1
+
N
q
2
2
m
ε
0
∑
f
j
(
ω
j
2
−
ω
2
)
(
ω
j
2
−
ω
2
)
2
+
γ
j
ω
]
{\displaystyle n\cong [1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma _{j}\omega }}]}
위 식에서 진동수가 공명 진동수 근처가 되면 굴절률이 증가하였다 감소하는데, 일반적으로 잘 일어나지 않는다. 그리고 진동수가 공명 진동수와 유사할 때를 제외한다면, 진동수가 커질 때 굴절률이 감소한다는 것을 식을 통해서 확인할 수 있다. 진동수가 커질 수록 굴절률 변화에 관여 할 수 있는 요소가 작아짐으로 진동수가 만약 무한으로 커진다면 오직 전자의 진동만이 굴절률에 관여하기 때문에 굴절률은 1에 수렴 한다는 것을 알 수 있다.
![{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}[1+{\frac {Nq^{2}}{m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma _{j}\omega }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833581469845c41c0adad8fc08ba1cf09d43ec64)
![{\displaystyle k\cong {\frac {\omega }{c}}[1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})-i\gamma _{j}\omega }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2d22ed984d645b12860205083c97b5f3ee619f)
![{\displaystyle n\cong [1+{\frac {Nq^{2}}{2m\varepsilon _{0}}}\sum {\frac {f_{j}(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})}{(\omega _{j}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\gamma _{j}\omega }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5581412678a0e55f1402fd2b1e14e8a9a67d3d8d)