람베르트 정각원추도법

람베르트 정각원추도법(람베르트正角圓錐圖法, Lambert conformal conic projection)은 정각도법인 원추도법의 일종이다. 독일 사람 요한 하인리히 람베르트가 고안한 도법으로, 위선은 동심원의 원호, 경선은 방사 직선으로 이루어져 있다. 중간 위도 지역을 그리는 데 가장 적합하며, 중간 위도 지역에 위치하고 있는 대한민국에서는 기상대·신문·TV의 일기도 등 여러 방면에서 이용되고 있다.

공식

대상 지점의 위도를 $\phi$, 기준 위선의 위도를 $\phi _{0}$, 원뿔의 꼭짓점으로부터의 거리를 $\rho$라 하면, 다음과 같이 주어진다.

$\rho =\cot \phi _{0}((\sec \phi -\tan \phi )(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0}))^{\sin \phi _{0}}$

또는 전개도 형태로 나타내어 직각좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\begin{aligned}x&=\rho \sin((\lambda -\lambda _{0})\sin \phi _{0})\\y&=-\rho \cos((\lambda -\lambda _{0})\sin \phi _{0})\end{aligned}}$

여기서 $\lambda$는 대상 지점의 경도, $\lambda _{0}$는 기준점의 경도이다.

증명

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투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를 $r$이라 하자. 정각성에 의해 다음이 성립한다.

${\frac {d\phi }{\cos \phi \,d\lambda }}=-{\frac {d\rho }{r\,d\lambda }}$

이 때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로, ${\frac {\rho }{r}}$의 값은 상수이다. 이를 $k$로 놓자.

$-\sec \phi \,d\phi ={\frac {k}{\rho }}d\rho$

$k\log \rho =\log(\sec \phi -\tan \phi )+C$

$\rho ^{k}=e^{C}(\sec \phi -\tan \phi )$

이제 $k$와 $C$의 값을 구하면 된다.

기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로

$\cos \phi _{0}=r(\phi _{0})$

또 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 $\cos \phi =r$은 이중근을 가져야 한다. 즉

$-\sin \phi _{0}=r'(\phi _{0})$

이다.

다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해 $\rho '(\phi _{0})=-1$ 이 성립하므로, $-1=\rho '(\phi _{0})=kr'(\phi _{0})=-k\sin \phi _{0}$이다.

따라서 $k=\csc \phi _{0}$이다.

이제 위의 식 $\rho ^{k}=e^{C}(\sec \phi -\tan \phi )$의 양변에 ${\frac {1}{k}}$승을 취한 후 $k=\csc \phi _{0}$를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\rho =e^{C\sin \phi _{0}}(\sec \phi -\tan \phi )^{\sin \phi _{0}}$

여기서 $\phi =\phi _{0}$ 를 대입하면,

$e^{C\sin \phi _{0}}(\sec \phi _{0}-\tan \phi _{0})^{\sin \phi _{0}}=\rho (\phi _{0})=\cot \phi _{0}$

$e^{C\sin \phi _{0}}=\cot \phi _{0}(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0})^{\sin \phi _{0}}$

$\quad \therefore \;\rho =\cot \phi _{0}((\sec \phi -\tan \phi )(\sec \phi _{0}+\tan \phi _{0}))^{\sin \phi _{0}}\qquad \blacksquare$

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