랭킨-위고니오 방정식(Rankine–Hugoniot equation)은 유입되는 흐름의 방향과 수직인 충격파의 거동을 나타내는 방정식이다. 물리학자인 윌리엄 랭킨(영어: William John Macquorn Rankine)과 프랑스의 공학자인 피에르앙리 위고니오(프랑스어: Pierre-Henri Hugoniot)의 이름을 땄다.
유동이 1차원, 정상상태이며, 오일러 방정식을 따르고 질량, 운동량, 에너지가 보존된다 가정한다. 유동의 지배 방정식인 질량 보존과 운동량 보존, 그리고 에너지 보존 방정식에서 두 속도
and
를 제거하여 랭킨-위고니오 방정식을 얻는다.
유입되는 유동은 아래첨자 1이라 하고 유출되는 유동은 아래첨자 2라 한다. 여기서
는 밀도,
는 속도,
는 압력이라 한다.
는 단위 질량당 내부 에너지를 나타낸다. 만약 유동을 이상기체라 가정하면, 상태 방정식은
이다.
다음 방정식은
![{\displaystyle \rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a02c4f7b5263ec934829720e84389e8df52a74)
![{\displaystyle p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4842369d1c65e009379631bb6706da873f2137)
![{\displaystyle e_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=e_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c815531c22c0b7e5f1a8fe429381e90256e361aa)
각각 질량 보존, 운동량 보존, 에너지 보존을 나타낸다. 에너지 유량은 기계적 일, 내부에너지, 운동 에너지 3개의 요소를 가진다. 이 세 개의 보존 조건을 랭킨-위고니오 조건이라 부른다.
위 방정식에서 속도를 제거하면 다음과 같은 관계를 얻는다.
![{\displaystyle 2\left(h_{2}-h_{1}\right)=\left(p_{2}-p_{1}\right)\cdot \left({\frac {1}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{\rho _{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21056dc642d6a120b3acfec12b74f73466d3d742)
여기서 엔탈피
이다.
![{\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {(\gamma +1)-(\gamma -1){\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}{(\gamma +1){\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}-(\gamma -1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79196532519660ab37c78c2007817ff20bb66c13)
따라서, 압력은 모두 양수이고, 밀도비는
또는 공기라면 6(
)이다. 충격파의 강도가 증가할수록, 유출되는 유동의 온도는 올라가지만, 밀도의 비는
유한한 값에 수렴한다.(단원자 기체는 4(
= 5/3)이고, 이원자분자 기체는 6(
= 1.4)이다.