뤼드베리 상수(리드버그 상수)(Rydberg 常數)는 R ∞ {\displaystyle R_{\infty }} or R H {\displaystyle R_{H}} 를 말하며, 스웨덴의 물리학자 요하네스 뤼드베리의 이름을 따서 만들어졌다. 이 값은 수소의 스펙트럼 공식(뤼드베리 공식)을 위해 만들어진 것이다.원자핵의 질량이 전자보다 훨씬 크다는 가정 아래에 만들어졌다.
뤼드베리 상수 R ∞ = m e e 4 8 ε 0 2 h 3 c = 1.0973 731 568 539 ( 55 ) × 10 7 m − 1 {\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8{\varepsilon _{0}}^{2}h^{3}c}}=1.0973\;731\;568\;539(55)\times 10^{7}\,{\text{m}}^{-1}}
여기서 m e {\displaystyle m_{\text{e}}} 는 전자의 정지 질량, e {\displaystyle e} 는 기본 전하량, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 는 자유 공간에서의 유전율, h {\displaystyle h} 는 플랑크 상수, 그리고 c {\displaystyle c} 는 진공에서의 광속이다.
이를 사용하면 일련의 스펙트럼을 표현하는 식에서 파수(단위 길이당의 파수)를 구할 수 있다. 또 여기에 빛의 속도(C)를 곱하면 스펙트럼선에 해당하는 진동수를 구할 수 있다.
뤼드베리 상수는 보어의 원자모델에서도 유도될 수 있는데,
h ν = E 1 − E 2 {\displaystyle h\nu =E_{1}-E_{2}} :에너지 차이--1
m v r = n h 2 π {\displaystyle mvr=n{\frac {h}{2\pi }}} :가정(각 운동량이 h 2 π {\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}} 의 정수배이다.)--2
Z e 2 4 π ε 0 r 2 = m e v 2 r {\displaystyle {\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}} :전자기력=구심력--3
2의 식으로 3의 식을 나누면
v r 2 = Z e 2 2 n h ε 0 r 2 {\displaystyle {\frac {v}{r^{2}}}={\frac {Ze^{2}}{2nh\varepsilon _{0}r^{2}}}}
v = Z e 2 2 n h ε 0 {\displaystyle v={\frac {Ze^{2}}{2nh\varepsilon _{0}}}}
r = ε 0 n 2 h 2 π Z e 2 m e {\displaystyle r={\frac {\varepsilon _{0}n^{2}h^{2}}{\pi Ze^{2}m_{e}}}}
E = 1 2 m v 2 − Z e 2 4 π ε 0 r = − Z 2 e 4 m e 8 ε 0 2 h 2 n 2 {\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=-{\frac {Z^{2}e^{4}m_{e}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}n^{2}}}}
1식에서 ν = − Z 2 e 4 m e 8 ε 0 2 h 3 ( 1 m 2 − 1 n 2 ) {\displaystyle \nu =-{\frac {Z^{2}e^{4}m_{e}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}}}({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}})} (n>m 은 양의 정수)
1 λ = − Z 2 e 4 m e 8 ε 0 2 h 3 c ( 1 m 2 − 1 n 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=-{\frac {Z^{2}e^{4}m_{e}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}})}
수소에서의 뤼드베리 상수이므로 Z=1, ∴ R ∞ = e 4 m e 8 ε 0 2 h 3 c {\displaystyle \therefore R_{\infty }={\frac {e^{4}m_{e}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}