반대각 행렬

반대각 행렬(antidiagonal matrix) 또는 역 대각 행렬은 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가는 주대각선의 방향이 반대인 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가는 방향의 반대각선을 갖는 행렬이다.

일반적인 주대각선과 반대각선의 행렬

반대각 행렬

{\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{a}\\0&\color {red}{a}&0\\\color {red}{a}&0&0\end{bmatrix}}

일반적인 주대각선의 대각행렬

{\begin{bmatrix}\color {red}{a}&0&0\\0&\color {red}{a}&0\\0&0&\color {red}{a}\end{bmatrix}}

주대각선과 반대각선의 표현

$n\times n\;\;matrix$ 에서,

주대각선의 표현

{\begin{pmatrix}\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}&x_{ij}\\x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}\\x_{ij}&x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}\end{pmatrix}}\qquad

을 예약하고,

$i$ 는 행 그리고 $j$ 는 열

주 대각선 $=x_{ij}=x_{nn}\quad ,\;\;i=j=n$

반대각선의 표현

{\begin{pmatrix}x_{ij}&x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}\\x_{ij}&\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}\\\color {red}{x_{ij}}&x_{ij}&x_{ij}\end{pmatrix}}\qquad

반대각선 $=x_{(i)((n+1)-i)}\quad i=>1$

반대각선의 멱 성질

{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\qquad

{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$