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수리논리학에서, 보존적 확장(保存的擴張, 영어: conservative extension)은 주어진 이론을 확장하되, 원래 이론의 언어로서 나타낼 수 있는 모든 명제의 증명 가능성 여부가 바뀌지 않게 하는 확장이다.

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 1차 논리 언어  과 그 확장  
  •  -문장들의 집합   -문장들의 집합  

만약 다음 조건이 성립한다면,   (증명 이론적) 보존적 확장(영어: proof-theoretic conservative extension)이라고 한다.[1]:37, Theorem 1.13.2

 

즉,  로 서술할 수 있는 문장에 대하여,  -증명 가능성은  -증명 가능성과 동치이다.

만약 다음 조건이 성립한다면,   모형 이론적 보존적 확장(영어: model-theoretic conservative extension)이라고 한다.

  • 임의의  -구조  에 대하여  라면,  이자   -구조  이 항상 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요는 없다.)

성질편집

이론  의 증명 이론적 보존적 확장  이 주어졌다고 하자. 그렇다면,  가 무모순적인지 여부는  가 무모순적인지 여부와 동치이다.

 

(여기서  은 거짓인 문장이다.)

무모순적 이론  의 확장  에 대하여,  라면, 괴델의 불완전성 정리에 따라   의 보존적 확장이 아니다.

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언어  1차 논리 문장들의 집합  이 주어졌다고 하고,  로부터 다음과 같은 꼴의 문장을 증명할 수 있다고 하자.

 

여기서 논리식  의 자유 변수들은  이며,  자연수이다 (특히, 0일 수 있다).

그렇다면,   개의 새  항 연산 기호  를 추가한 언어를  이라고 하고,

 

을 정의하자. 그렇다면,   의 모형 이론적 보존적 확장이다.

참고 문헌편집

  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 (영어). North-Holland. ISBN 0-444-85401-0.