보충 경계 가설

미분위상수학에서 존 C. 바에즈와 제임스 돌런^[1]이 고안한 보충 경계 가설(영어: Cobordism hypothesis)은 확장된 위상 양자장론을 분류하는 것에 관한 가설이다. 2008년에 제이콥 루리는 보충 경계 가설에 대한 증명을 제시했지만, 그의 접근 방식에 대한 자세한 내용은 2022년까지 문헌에 아직 나오지 않았다.^[2]^[3]^[4] 2021년에 다니엘 그레이디와 드미트리 파블로프는 보충 경계 가설에 대한 완전한 증명과 임의의 기하학적 구조를 가진 bordism에 대한 일반화를 주장했다.^[4]

공식화 편집

완전 쌍대화 가능하며, $1\leq k\leq n-1$ 에 대해, 모든 $k$ -사상이 인접할 수 있는 대칭 모노이드 $(\infty ,n)$ -범주 ${\mathcal {C}}$ 의 경우 보충 경계 범주의 ${\mathcal {C}}$ -값 대칭 모노이드 함자와 대상 ${\mathcal {C}}$ 사이에 전단사가 존재한다.

동기 편집

아티야의 위상 양자장론 공리에 따르면, 보충 경계 범주의 대칭 모노이드 함자는 위상 양자장론에 대응한다. 위상 양자장론에 대한 보충 경계 가설은 호모토피 이론에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리와 비슷하다. 에일렌베르크-스틴로드 공리는 호모토피 이론이 점에 대한 값에 따라 유일하게 결정된다고 명시하고 있으며, 마찬가지로 보충 경계 가설에서는 위상 양자장론이 해당 점에 대한 값에 따라 유일하게 결정된다는 것이다. 즉, ${\mathcal {C}}$ -값 대칭 모노이드 함자와 대상 ${\mathcal {C}}$ 사이의 전단사는 점의 값으로 유일하게 정의된다.

같이 보기 편집

보충 경계

각주 편집

↑ Baez, John C.; Dolan, James (1995). “Higher‐dimensional algebra and topological quantum field theory”. 《Journal of Mathematical Physics》 36 (11): 6073–6105. arXiv:q-alg/9503002. Bibcode:1995JMP....36.6073B. doi:10.1063/1.531236. ISSN 0022-2488.
↑ Hisham Sati; Urs Schreiber (2011). 《Mathematical Foundations of Quantum Field Theory and Perturbative String Theory》. American Mathematical Soc. 18쪽. ISBN 978-0-8218-5195-1.
↑ Ayala, David; Francis, John (2017년 5월 5일). “The cobordism hypothesis”. arXiv:1705.02240 [math.AT].
↑ ^가 ^나 Grady, Daniel; Pavlov, Dmitri (2021년 11월 1일). “The geometric cobordism hypothesis”. arXiv:2111.01095 [math.AT].