사용자:Bin/연습장3

증명

$f(x)\in F[x],\;a\in F$라 하면.

다항식의 나눗셈 정리에서

$f(x)=q(x)(x-a)+r(x),\;{\mbox{deg}}\,r<{\mbox{deg}}\,(x-a)$

를 만족시키는 $q,r\in F[x]$이 존재한다.

이 때, ${\mbox{deg}}\,(x-a)=1$ 이므로 ${\mbox{deg}}\,r\leq 0$ 이다. 따라서 r은 F의 원소이고 x=a 를 대입하면

$\therefore f(a)=r$

다항식의 나눗셈 정리

이 문서는 수론에서의 나눗셈 정리에 관한 것입니다. 다른 뜻에 대해서는 다항식의 나눗셈 정리 문서를 참고하십시오.

다항식의 나눗셈 정리(polynomial long divsion)는 다항식에서의 몫과 나머지에 관한 정리이다. 수론에서의 나눗셈 정리와 유사한 성질을 가지고 있다.

정리

두 다항식 $f,g\in F[x]$에 대해 f가 0이 아니면

$g=qf+r,\;{\mbox{deg}}r<{\mbox{deg}}f$

를 만족시키는 다항식 $q,r$가$F[x]$에 유일하게 존재한다.

이 때 q를 q를 f로 나눈 몫, r을 q를 f로 나눈 나머지라 한다. 특히, r이 영다항식일 경우 f를 g의 약다항식, g를 f의 배다항식이라 한다.