△ A B C {\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} } 에서 B C ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}} 의 중점을 M {\displaystyle \mathrm {M} } 이라 하고, 점 A {\displaystyle \mathrm {A} } 에서 B C ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}} 에 내린 수선의 발을 점 H {\displaystyle \mathrm {H} } 라 한다. 이때, B M ¯ = C M ¯ {\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}={\overline {\mathrm {CM} }}} 이다. 피타고라스 정리를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.
A B ¯ 2 = ( B M ¯ + M H ¯ ) 2 + A H ¯ 2 = B M ¯ 2 + 2 B M ¯ × M H ¯ + M H ¯ 2 + A H ¯ 2 {\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AB} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}}
A C ¯ 2 = ( C M ¯ − M H ¯ ) 2 + A H ¯ 2 = ( B M ¯ − M H ¯ ) 2 + A H ¯ 2 = B M ¯ 2 − 2 B M ¯ × M H ¯ + M H ¯ 2 + A H ¯ 2 {\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {CM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}-2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}}
∴ A B ¯ 2 + A C ¯ 2 = 2 ( B M ¯ 2 + M H ¯ 2 + A H ¯ 2 ) = 2 ( A M ¯ 2 + B M ¯ 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}\therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&2\left({\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\right)\\&=&2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)\end{matrix}}}
