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선도 LIBOR 모형(forward LIBOR model)이란 미래의 일정 기간 동안의 단순이자율인 선도 LIBOR 이자율을 이용하여 금리의 움직임을 정의하는 모형을 의미한다. HJM 모형(Heath-Jarrow-Morton Model)과 같이 순간이자율을 정의하는 모형의 경우 블랙의 캡 가격 공식(Black caplet formula)을 적용하기 위해 선도이자율이 위험중립측도 하에서 로그정규분포를 따른다고 가정하게 되면 순간이자율이 발산하는 지점이 생겨나게 된다. 반면 선도 LIBOR 모형의 경우 일정 기간 동안의 단순이자율을 사용하므로 이러한 문제를 피할 수 있으며, 따라서 선도이자율을 기초자산으로 하는 파생상품의 적정가격을 구하는 과정에서 블랙의 캡 가격 공식과 같이 해당 시장에서 보편적으로 쓰이는 도구들을 활용할 수 있어 더욱 실용적이다.

선도 LIBOR 이자율의 정의

$0\geq t\geq T$일 때 만기 시점이 $T$인 무이표채권이 시점 $t$에 갖는 가치를 $B(t,T)$라고 하자. 만약 $\delta >0$이고 시점 $t$에 $B(t,T)$와 $B(t,T+\delta )$가 모두 주어져 있을 경우 이 두 채권을 활용해 다음과 같이 $[T,T+\delta ]$ 구간의 선도 LIBOR 이자율(forward LIBOR rate)을 나타내는 포트폴리오를 구성할 수 있다.

• 시점 $t$ : 만기 시점이 $T$인 무이표채권을 1단위 매도하고, 만기 시점이 $T+\delta$인 무이표채권을 ${\frac {B(t,T)}{B(t,T+\delta )}}$단위 매수한다. (손익이 발생하지 않음)

• 시점 $T$ : 매도한 채권에 대해 1을 지급한다.

• 시점 $T+\delta$ : 매수한 채권을 제시하고 ${\frac {B(t,T)}{B(t,T+\delta )}}$만큼을 받는다.

결국 이 포트폴리오를 구성하는 것은 시점 $T$에 투자할 때 적용받는 이자율을 시점 $t$에 미리 정하는 것과 같다. 이렇게 미리 적용받는 이자율을 선도 LIBOR 이자율이라고 하며, $L(t,T)$로 나타낸다. 또한 이 때 $\delta$를 만기(tenor)라고 한다. [투자금액] $\times$ (1 $+$ [투자기간] $\times$ [단순이자율]) = [만기시 수령금액] 이므로,

$1+\delta L(t,T)={\frac {B(t,T)}{B(t,T+\delta )}}$

의 관계식이 성립하며, 이를 이용해 다음과 같이 $L(t,T)$을 구할 수 있다.

$L(t,T)={\frac {B(t,T)-B(t,T+\delta )}{\delta B(t,T+\delta )}}$

만약 $t=T$일 경우 이러한 $L(t,T)$, 즉 $L(T,T)$를 현물 LIBOR 이자율(spot LIBOR rate) 또는 단순히 LIBOR 이자율(LIBOR rate)이라고 한다.

이자율 스왑의 가격결정

두 거래참가자 A와 B가 미래의 일정한 시점에 일정한 원금에 대한 고정이자와 변동이자를 서로 교환하기로 정하는 형태의 계약을 이자율 스왑(interest rate swap)이라고 하며, 시점 $t$에 변동이자율을 $L(T,T)$로 하여 정하는 형태의 이자율 스왑계약을 backset LIBOR 계약이라고 한다. 시점 $t$에 $L(T,T)$을 변동이자율로 하는 backset LIBOR 계약을 맺을 경우 쌍방에 공평한 고정이자율 $S(t)$는 다음과 같다.

편미분방정식의 도출

시점 0부터 시작하는 이토 확률과정 $X(u)$에 대한 확률미분방정식의 해답을 $X(t)$라고 하자. $g(X(t),t)$가 마팅게일이므로 미분계수 $dg(X(t),t)$에서 시간 $t$에 대한 변화율을 나타내는 항인 $dt$는 반드시 0이다. 미분계수 $dg(X(t),t)$를 정리하면 다음과 같다.

${\begin{aligned}dg(X(t),t)&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)dt+{\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)dX+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial X^{2}}}g(X(t),t)dXdX\\&={\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)dt+\mu {\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)dt+\sigma {\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)dW(t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial X^{2}}}g(X(t),t)dt\\&=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}g(X(t),t)+\mu {\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial X^{2}}}g(X(t),t)\right]dt+\sigma {\frac {\partial }{\partial X}}g(X(t),t)dW(t)\end{aligned}}$

따라서 항 $dt$의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 $x$에 대해 $g(X(t),t)$가 만족시키는 편미분방정식을 구할 수 있다.

${\frac {\partial }{\partial t}}g(x,t)+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}g(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}g(x,t)=0$