선적분의 기본정리는 다음과 같다.
집합 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 의 열린집합 U {\displaystyle U} 에서 정의된 벡터장 F : U ⟶ R n {\displaystyle F:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}} 가 grad φ = F {\displaystyle \operatorname {grad} \varphi =F} 인 일급함수 φ : U ⟶ R {\displaystyle \varphi :U\longrightarrow \mathbb {R} } 가 존재하면 일급곡선 X : [ a , b ] ⟶ U {\displaystyle X:[a,b]\longrightarrow U} 를 따르는 선적분은
로 주어진다.
(증명) ∫ X F ⋅ d s = ∫ a b grad φ ( X ( t ) ) ⋅ X ′ ( t ) d t = ∫ a b d d t φ ( X ( t ) ) d t = φ ( X ( b ) ) − φ ( X ( a ) ) {\displaystyle \int _{X}F\cdot ds=\int _{a}^{b}\operatorname {grad} \varphi (X(t))\cdot X'(t)dt=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (X(t))dt=\varphi (X(b))-\varphi (X(a))}
벡터장 F : U ⟶ R n {\displaystyle F:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}} 의 선적분값이 곡선 C {\displaystyle C} 의 출발점과 도착점에만 의존하면 grad φ = F {\displaystyle \operatorname {grad} \varphi =F} 인 함수 φ : R n ⟶ R {\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} } 가 존재한다.
(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을 P {\displaystyle P} , 도착점을 Q {\displaystyle Q} 라고 하면 선적분값을 P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} 의 함수 f ( P , Q ) {\displaystyle f(P,Q)} 로 나타낼 수 있다. 한 점을 A {\displaystyle A} 라고 할 때, φ ( X ) := f ( A , X ) {\displaystyle \varphi (X):=f(A,X)} 로 놓으면
인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 f ( X , X + h E i ) {\displaystyle f(X,X+hE_{i})} 는 점 X {\displaystyle X} 와 X + h E i {\displaystyle X+hE_{i}} 를 잇는 직선 ℓ {\displaystyle \ell } 을 따라 선적분한 값이다. 직선 ℓ {\displaystyle \ell } 을 X + t E i {\displaystyle X+tE_{i}} 로 매개화하면 직선의 속도벡터는 E i {\displaystyle E_{i}} 이므로
이다. 따라서 grad φ = F {\displaystyle \operatorname {grad} \varphi =F} 이다.
의 선적분값이 곡선 
의 출발점과 도착점에만 의존하면 
인 함수 
가 존재한다.
, 도착점을 
라고 하면 선적분값을 , 의 함수 
로 나타낼 수 있다. 한 점을 
라고 할 때, 
로 놓으면
는 점 
와 
를 잇는 직선 
을 따라 선적분한 값이다. 직선 을 
로 매개화하면 직선의 속도벡터는 
이므로
이다.
![{\displaystyle X:[a,b]\longrightarrow U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb60ab6e73e5723c8fde2484479ec794fdd2948)
