소파 옮기기 문제

소파 옮기기 문제(Moving sofa problem) 또는 소파 문제(Sofa problem)는 폭이 1인 복도에서 직각의 모서리를 끼고 있는 복도가 있을 때, 이 공간을 통과할 수 있는 단면적 A가 최대인 소파를 찾는 문제이다. 1966년에 제기된 이후 미해결 문제로 남아 있다. A는 소파 상수라고 불린다.[1][2] 소파 상수의 하한은 미증명되었다.

조건편집

소파 옮기기 문제에서는 조건이 있다.[1]

  1. 복도의 높이는 고려하지 않는다.
  2. 복도의 길이는 결과와 무관하다.

역사편집

이 문제는 최초로 공식적으로 오스트리아-캐나다인 수학자 레오 모서(Leo Moser)에 의해 1966년에 제시되었다. 하지만 그 전에도 비공식적인 언급이 많이 있었다.[3]

옮기기 가능한 도형편집

다음은 옮기기 가능하다고 증명된 도형의 목록이다.

  • 선분: 길이  
  • 정사각형: 한 변의 길이   → 넓이  
  • 직사각형: 넓이  
  • 삼각형: 밑변   높이   → 넓이  
  • 반원: 반지름의 길이   → 넓이  
  • 좌우이심의 소파:
  • 해머즐리 소파: 넓이  
  • 게르버 소파: 넓이  

[1][2]

면적의 상한과 하한편집

 
헤머슬리 소파(Hammersley sofa)의 면적은 약 2.2074이지만 게르버 소파의 면적보다 더 작다.
 
게르버(Gerver's sofa)의 면적은 약 2.2195이며 현재까지 알려진 가장 큰 하한이다.
 
로믹(Romik)의 좌우이심 소파(Ambidextrous sofa)

소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 많이 이루어졌다.

하한편집

반지름의 길이가 1인 반원은 회전 이동을 통해 모서리를 통과할 수 있으니, 하한은 반원의 넓이   보다 크다.[1][2]

존 해머슬리(John Hammersley)가 고안한 해머슬리 소파(Hammersley's sofa)는 가로   세로 1인 직사각형에서 반지름이  인 반원을 잘라내어서 넓이가   인 도형 1개와, 반지름이 1이고 넓이가 각각   인 사분면 2개로 이루어져 있다. 따라서 총 넓이가 가운데 부분   와 양 끝 부채꼴  를 더한 값인  이다.[1]

1992년 조제프 게르버(Joseph Gerver)가 고안한 게르버 소파(Gerver's sofa)는 해머슬리 소파와 비슷하지만, 18개의 곡선이로 이루어져 있다. 넓이는 약  이다. 해머슬리 소파보다 약 0.01 더 넓다.[1][4]

상한편집

해머슬리는 소파 상수의 상한도 찾았다.  이다.[3][5]

요아브 캘러스(Yoav Kallus)와 단 로믹(Dan Romik)은 새로운 상한을 2017년 9월에 증명했다. 값이 더 낮아진  이다.[6]

좌우이심의 소파편집

단 로믹(Dan Romik)이 고안한 좌우이심(左右二心)의 소파는 게르버 소파보다 더 아름다운 모양이다. 면적 공식은 다음과 같다.  

같이 보기편집

각주편집

  1. 《이토록 재미있는 수학이라니》. 미디어숲. 45~54쪽. ISBN 979-11-5874-079-5. 
  2. 《[신문과 놀자!/눈이 커지는 수학]폭 1m의 꺾인 복도를 통과할 수 있는 소파는?》. 동아닷컴. 
  3. Wagner, Neal R. (1976). “The Sofa Problem” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 83 (3): 188–189. doi:10.2307/2977022. JSTOR 2977022.  (영어)
  4. “Moving Sofa Problem”. 《Wolfram Math World》. 
  5. Stewart, Ian. 《Another Fine Math You've Got Me Into...》. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0486431819. 
  6. Kallus, Yoav; Romik, Dan. “Improved upper bounds in the moving sofa problem”. 《Advances in Mathematics》 340: 960–982. arXiv:1706.06630. doi:10.1016/j.aim.2018.10.022. ISSN 0001-8708.