수직축 정리

고전역학에서 수직축 정리(perpendicular-axis-theorem)란 임의의 평면판의 관성 모멘트는 그 수직축과 평면판의 교점을 지나고 평면판에서 서로 수직인 임의의 두 축에 대한 관성 모멘트의 합과 같음을 나타내는 정리이다.

원점 O에서 만나는 수직인 세 회전축 를 정의하고, 축에 수직인 평면 위의 평면판을 정의하자. 이때, 를 각각 축을 회전축으로 하는 관성 모멘트라고 하면, 수직축 정리는 다음을 나타낸다[1]:

이 정리는 평행축 정리와 더불어 관성 모멘트를 구하는데에 유용하게 쓰인다.

수직축 정리의 증명편집

회전축이  축인  평면 위의 평면판을 생각하자.

이때, 관성 모멘트   이고,

 이다.

이때, 평면이  축과  축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트  ,  를 구하면

평면 위의 임의의 점  에서  축까지의 거리는  ,  축까지의 거리는   이므로

  ,   가 된다.

그러므로    임을 알 수 있다.

수직축 정리의 활용편집

원판에서의 활용편집

밀도가 균일한 원판의 관성 모멘트는  로 알려져 있다.

원판의 중심을 지나는 원판 위의 회전축에 의한 원판의 관성 모멘트를   라 하면

회전축을 어떠한 방향으로 잡든  의 값이 항상 같다.

이때, 수직축 정리에 의해  가 성립하므로  를 얻는다.

각주편집

  1. Paul A. Tipler (1976). 〈Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis〉. 《Physics》. Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X.