수직축 정리

고전역학에서 수직축 정리(perpendicular-axis-theorem)란 임의의 평면판의 관성 모멘트는 그 수직축과 평면판의 교점을 지나고 평면판에서 서로 수직인 임의의 두 축에 대한 관성 모멘트의 합과 같음을 나타내는 정리이다.

원점 O에서 만나는 수직인 세 회전축 $x,y,z$를 정의하고, $z$축에 수직인 $xy$평면 위의 평면판을 정의하자. 이때, $I_{x},I_{y},I_{z}$를 각각 $x,y,z$축을 회전축으로 하는 관성 모멘트라고 하면, 수직축 정리는 다음을 나타낸다:

$I_{z}=I_{x}+I_{y}$

이 정리는 평행축 정리와 더불어 관성 모멘트를 구하는데에 유용하게 쓰인다.

수직축 정리의 증명

회전축이 $z$축인 $xy$평면 위의 평면판을 생각하자.

이때, 관성 모멘트 $I_{z}$$=\sum (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})m_{i}$이고,

$\sum (x_{i}^{2}+y_{i}^{2})m_{i}=\sum x_{i}^{2}m_{i}+\sum y_{i}^{2}m_{i}$이다.

이때, 평면이 $x$축과 $y$축을 회전축으로 회전운동할 때의 관성 모멘트 $I_{x}$, $I_{y}$를 구하면

평면 위의 임의의 점 $(x_{i},y_{i})$에서 $x$축까지의 거리는 $|y_{i}|$, $y$축까지의 거리는 $|x_{i}|$ 이므로

$I_{x}=\sum y_{i}^{2}m_{i}$ , $I_{y}=\sum x_{i}^{2}m_{i}$ 가 된다.

그러므로 $I_{z}$$=I_{x}+I_{y}$ 임을 알 수 있다.

수직축 정리의 활용

원판에서의 활용

밀도가 균일한 원판의 관성 모멘트는 $I={\frac {1}{2}}MR^{2}$로 알려져 있다.

원판의 중심을 지나는 원판 위의 회전축에 의한 원판의 관성 모멘트를 $I_{c}$ 라 하면

회전축을 어떠한 방향으로 잡든 $I_{c}$의 값이 항상 같다.

이때, 수직축 정리에 의해 ${\frac {1}{2}}MR^{2}=2I_{c}$가 성립하므로 $I_{c}={\frac {1}{4}}MR^{2}$를 얻는다.