시미즈 L-함수

시미즈 L-함수완전 실수체대수적 수체와 관련된 디리클레 시리즈이다. 1963년에 시미즈 히데오(清水英男)에 의해 처음 소개되었다.[1]

K가 완전 실수체이고, M이 K에서의 격자, 그리고 V가 격자를 보존하는 완전 양가역 정수군(group of totally positive units)의 최대 차수(maximal rank) 부분군이라고 하자. 그러면 시미즈 L-시리즈는

로 표현될 수 있다.

1958년마르틴 아이클러는 부정 사원수 대수오일러 곱타원 모듈러 형식에 의해 얻어지는 오일러 곱에 모두 포함되어 있다는 것을 보였다.[2] 이것을 일반화한 것이 시미즈의 1963년 논문[1]이며, 여기서 '시미즈 L-함수'의 개념이 처음 소개되었다. 이후 1983년마이클 아티야, 도넬리(H. Donnelly), 이자도어 싱어다양체 경계의 부호수 결함(signature defect)을 에타(η) 불변량으로 정의했는데, η함수의 값은 η = 0이며, 이것을 사용하여 힐베르트 모듈러 곡면(Hilbert modular surface)에서 첨점이 갖는 부호수 결함[3]이 시미즈 L-함수의 s = 0 또는 1에서의 값으로 표현될 수 있음을 보였다.[4][5]

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Shimizu, Hideo (1963). “On discontinuous groups operating on the product of the upper half planes”. 《Annals of Mathematics》 77: 33?71. doi:10.2307/1970201. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970201. MR 0145106. 
  2. Eichler M., Quadratische Formen und Modulfunktionen Acta Arithmetica vol. 4, 1958, pp. 217–239
  3. 이 부호수 결함은 프리드리히 히르체브루흐가 밝혀내었다.
  4. Atiyah, Michael Francis; Donnelly, H.; Singer, I. M. (1982). “Geometry and analysis of Shimizu L-functions”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 79 (18): 5751. doi:10.1073/pnas.79.18.5751. ISSN 0027-8424. JSTOR 12685. MR 674920. 
  5. Atiyah, Michael Francis; Donnelly, H.; Singer, I. M. (1983). “Eta invariants, signature defects of cusps, and values of L-functions”. 《Annals of Mathematics》 118 (1): 131?177. doi:10.2307/2006957. ISSN 0003-486X. MR 707164.