코사인 법칙을 이용한 증명
편집
아폴로니오스 정리의 증명 세 변이 각각
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
a
{\displaystyle a}
d
{\displaystyle d}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
θ
{\displaystyle \theta }
b
{\displaystyle b}
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
c
{\displaystyle c}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
보각 이 되므로
cos
θ
′
=
−
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta }
코사인 법칙 에 의해 아래 식이 성립한다.
b
2
=
m
2
+
d
2
−
2
d
m
cos
θ
c
2
=
m
2
+
d
2
−
2
d
m
cos
θ
′
=
m
2
+
d
2
+
2
d
m
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}}
첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.
b
2
+
c
2
=
2
(
m
2
+
d
2
)
{\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}
피타고라스 정리를 이용한 증명
편집
아폴로니오스 정리의 증명
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
H
{\displaystyle \mathrm {H} }
B
M
¯
=
C
M
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}={\overline {\mathrm {CM} }}}
피타고라스 정리 를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.
A
B
¯
2
=
(
B
M
¯
+
M
H
¯
)
2
+
A
H
¯
2
=
B
M
¯
2
+
2
B
M
¯
×
M
H
¯
+
M
H
¯
2
+
A
H
¯
2
{\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AB} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}}
A
C
¯
2
=
(
C
M
¯
−
M
H
¯
)
2
+
A
H
¯
2
=
(
B
M
¯
−
M
H
¯
)
2
+
A
H
¯
2
=
B
M
¯
2
−
2
B
M
¯
×
M
H
¯
+
M
H
¯
2
+
A
H
¯
2
{\displaystyle {\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {CM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}-2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}}
∴
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
2
(
B
M
¯
2
+
M
H
¯
2
+
A
H
¯
2
)
=
2
(
A
M
¯
2
+
B
M
¯
2
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&2\left({\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\right)\\&=&2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)\end{matrix}}}
좌표를 이용한 증명
편집
좌표를 활용한 아폴로니오스 정리의 증명 좌표 를 사용하여 증명할 수도 있다.
그림과 같이
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
x
{\displaystyle x}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} }
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BC} }}}
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
A
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {A} (a,b)}
B
(
−
c
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {B} (-c,0)}
C
(
c
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {C} (c,0)}
M
(
0
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {M} (0,0)}
A
B
¯
2
=
(
a
+
c
)
2
+
b
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
c
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}=(a+c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac}
A
C
¯
2
=
(
a
−
c
)
2
+
b
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
a
c
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=(a-c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ac}
A
M
¯
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}}
B
M
¯
2
=
c
2
{\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=c^{2}}
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
A
M
¯
2
+
B
M
¯
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}
∴
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
2
(
A
M
¯
2
+
B
M
¯
2
)
{\displaystyle \therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)}
.svg)
