양자 조화 진동자의 n=0~7인 경우에 대한 파동함수. (표준화되어 있지 않다.) 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 (시간독립 슈뢰딩거 방정식 , Time-Independent Schrödinger Equation)을 풀면 다음과 같은 에너지 고유 상태
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
에너지 준위
E
n
{\displaystyle E_{n}}
⟨
x
|
n
⟩
=
ψ
n
(
x
)
=
N
n
⋅
H
n
(
α
x
)
⋅
e
−
α
x
2
2
=
1
(
2
n
n
!
)
1
/
2
(
α
π
)
1
/
4
⋅
H
n
(
α
x
)
⋅
e
−
α
x
2
2
{\displaystyle \langle x|n\rangle =\psi _{n}(x)=N_{n}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}={\frac {1}{(2^{n}\,n!)^{1/2}}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}}
E
n
=
ℏ
ω
(
n
+
1
2
)
{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)}
여기서,
H
n
(
x
)
{\displaystyle H_{n}(x)\;}
에르미트 다항식
α
=
(
m
k
ℏ
2
)
1
/
2
=
m
ω
ℏ
{\displaystyle \alpha =\left({mk \over \hbar ^{2}}\right)^{1/2}={m\omega \over \hbar }}
n
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots \;}
이다.
해석적인 풀이
편집
1차원에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 은 다음과 같다.
−
ℏ
2
2
m
d
2
ψ
(
x
)
d
x
2
+
1
2
m
ω
2
x
2
ψ
(
x
)
=
E
ψ
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\psi (x)=E\psi (x)}
ℏ
{\displaystyle \hbar }
디랙 상수
h
/
2
π
{\displaystyle h/2\pi }
m
{\displaystyle m}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
E
{\displaystyle E}
여기에 다음과 같은 변수 변환
ϵ
=
2
E
ℏ
ω
{\displaystyle \epsilon ={2E \over \hbar \omega }}
y
=
m
ω
ℏ
x
=
α
x
{\displaystyle y={\sqrt {m\omega \over \hbar }}x={\sqrt {\alpha }}x}
를 취하면 다음의 방정식을 얻는다. (이는 방정식에 나타난 물리량을 단위가 없는 양으로 바꾸기 위함이다.)
d
2
ψ
(
y
)
d
y
2
+
(
ϵ
−
y
2
)
ψ
(
y
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi (y)}{dy^{2}}}+(\epsilon -y^{2})\psi (y)=0}
지금 당장 이 형태는 풀기 어렵다. 따라서, 평형점(x=0)으로부터 한없이 멀리 떨어진 곳에서의 파동함수의 거동을 살펴보자. (이렇게 하면 해를 구하는 과정에서 x → ∞ 이면 파동함수의 함수값이 0 이 되어야 한다는 양자역학의 통계적 해석에 관한 기본 조건이 풀이에 자연스럽게 이용된다.) 이 경우, 상수인 ε 에 비해 y 는 매우 커지므로(x → ∞ 이면 y → ∞), 위 식의 두 번째 항에서 ε 항을 무시할 수 있다. 그러면,
d
2
ψ
0
(
y
)
d
y
2
−
y
2
ψ
0
(
y
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{0}(y)}{dy^{2}}}-y^{2}\psi _{0}(y)=0}
의 간단한 방정식을 얻는다. 이 방정식의 해는 실제 파동함수가 x → ∞ 일 때 원래의 해가 점근적으로 수렴해 가는 함수이다. 이 미분 방정식 을 풀면
ψ
0
(
y
)
=
e
−
y
2
2
{\displaystyle \psi _{0}(y)=e^{-{y^{2} \over 2}}}
를 얻는다. 그런데 이는 x 가 한없이 큰 곳에서의 해이므로, 실제 슈뢰딩거 방정식 의 해는 특정 함수가 곱해진 형태인 다음과 같은 형태의 함수일 것이라 생각해볼 수 있다.
ψ
(
y
)
=
h
(
y
)
e
−
y
2
2
{\displaystyle \psi (y)=h(y)e^{-{y^{2} \over 2}}}
따라서 이 함수를 시험해 로 사용하여 슈뢰딩거 방정식 에 대입하여 정리하면 다음과 같은 새로운 미분방정식을 얻는다.
d
2
h
(
y
)
d
y
2
−
2
y
d
h
(
y
)
d
y
+
(
ϵ
−
1
)
h
(
y
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}h(y)}{dy^{2}}}-2y{\frac {dh(y)}{dy}}+(\epsilon -1)h(y)}
위 방정식을 급수해 풀이법 으로 풀면, 그 해로 에르미트 다항식 H(y) 를 얻는다.
h
(
y
)
=
H
(
y
)
{\displaystyle h(y)=H(y)\;}
이를 표준화를 시키면 앞의 표준화 상수 Nn 를 구할 수 있고, 다시 y 와 ε 을 역변환하면 아래의 양자 조화 진동자 파동함수를 얻는다.
ψ
n
=
N
n
⋅
H
n
(
α
x
)
⋅
e
−
α
x
2
2
=
1
(
2
n
n
!
)
1
/
2
(
α
π
)
1
/
4
⋅
H
n
(
α
x
)
⋅
e
−
α
x
2
2
{\displaystyle \psi _{n}=N_{n}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}={\frac {1}{(2^{n}\,n!)^{1/2}}}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{1/4}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\alpha }}x\right)\cdot e^{-{\frac {\alpha x^{2}}{2}}}\,}
대수적인 풀이
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양자 조화 진동자의 에너지 고유 상태와 에너지 준위의 주요한 성질은 미분 방정식을 직접 풀지 않아도 대수적인 방법으로 유추할 수 있다.
해밀토니언 을 다음과 같이 인수분해하자.
H
=
1
2
m
ω
2
x
2
+
1
2
m
p
2
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {1}{2m}}p^{2}}
=
1
2
(
(
ω
m
x
−
i
p
/
m
)
(
ω
m
x
+
i
p
/
m
)
+
ℏ
ω
)
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left((\omega {\sqrt {m}}x-ip/{\sqrt {m}})(\omega {\sqrt {m}}x+ip/{\sqrt {m}})+\hbar \omega \right)}
=
(
a
†
a
+
1
2
)
ℏ
ω
{\displaystyle =(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}})\hbar \omega }
여기서
a
=
1
2
(
ω
m
x
+
i
p
/
m
)
{\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\omega {\sqrt {m}}x+ip/{\sqrt {m}}\right)}
a
†
=
1
2
(
ω
m
x
−
i
p
/
m
)
{\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\omega {\sqrt {m}}x-ip/{\sqrt {m}}\right)}
는 사다리 연산자 이다. 이들은 에르미트 연산자가 아니므로, 관측 가능량이 아니다.
다음과 같이 입자수 연산자 (粒子數演算子, particle-number operator )
N
{\displaystyle N}
N
=
a
†
a
{\displaystyle N=a^{\dagger }a}
이는 에르미트 연산자이다. 따라서 그 고유 기저를
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
N
|
n
⟩
=
n
|
n
⟩
{\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle }
이다.
⟨
ψ
|
N
|
ψ
⟩
=
(
⟨
ψ
|
a
†
)
(
a
|
ψ
⟩
)
=
|
a
|
ψ
⟩
|
2
{\displaystyle \langle \psi |N|\psi \rangle =(\langle \psi |a^{\dagger })(a|\psi \rangle )=\left|a|\psi \rangle \right|^{2}}
이므로,
N
{\displaystyle N}
고윳값 은 음이 아닌 실수다.
입자수 연산자와 사다리 연산자의 교환자는 다음과 같다.
[
a
,
a
†
]
=
1
{\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}
[
a
,
N
]
=
a
{\displaystyle [a,N]=a}
[
a
†
,
N
]
=
−
a
†
{\displaystyle [a^{\dagger },N]=-a^{\dagger }}
따라서
N
a
|
n
⟩
=
a
(
N
−
1
)
|
n
⟩
=
(
n
−
1
)
a
|
n
⟩
{\displaystyle Na|n\rangle =a(N-1)|n\rangle =(n-1)a|n\rangle }
이므로,
a
|
n
⟩
∝
|
n
−
1
⟩
{\displaystyle a|n\rangle \propto |n-1\rangle }
이다. 마찬가지로,
a
†
|
n
⟩
∝
|
n
+
1
⟩
{\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle \propto |n+1\rangle }
임을 보일 수 있다. 즉,
a
{\displaystyle a}
N
{\displaystyle N}
a
†
{\displaystyle a^{\dagger }}
N
{\displaystyle N}
a
†
{\displaystyle a^{\dagger }}
생성 연산자 (生成演算子, creation operator ),
a
{\displaystyle a}
소멸 연산자 (消滅演算子,annihilation operator )라고 부른다.
그 비례 상수는 다음과 같이 계산할 수 있다.
n
=
⟨
n
|
N
|
n
⟩
=
|
a
|
n
⟩
|
|
2
{\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\left|a|n\rangle |\right|^{2}}
따라서
a
|
n
⟩
=
n
|
n
−
1
⟩
{\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }
이다. 마찬가지로,
n
+
1
=
⟨
n
|
(
N
+
1
)
|
n
⟩
=
|
a
†
|
n
⟩
|
2
{\displaystyle n+1=\langle n|(N+1)|n\rangle =\left|a^{\dagger }|n\rangle \right|^{2}}
이므로,
a
†
|
n
⟩
=
n
+
1
|
n
+
1
⟩
{\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }
이다.
이에 따라,
a
k
|
n
⟩
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
|
n
−
k
⟩
{\displaystyle a^{k}|n\rangle ={\sqrt {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}}|n-k\rangle }
이다. 만약
n
{\displaystyle n}
k
>
n
{\displaystyle k>n}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
|
n
−
k
⟩
{\displaystyle |n-k\rangle }
N
{\displaystyle N}
n
{\displaystyle n}
N
{\displaystyle N}
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
n
⟩
=
(
a
†
)
n
n
!
|
0
⟩
{\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle }
입자수
N
{\displaystyle N}
H
=
ℏ
ω
(
N
+
1
/
2
)
{\displaystyle H=\hbar \omega (N+1/2)}
에너지 준위 )
E
n
{\displaystyle E_{n}}
E
n
=
ℏ
ω
(
n
+
1
/
2
)
{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+1/2)}
이 문서는 양자역학에 관한 것입니다. 고전역학에 대해서는 조화 진동자 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671da8b1eb59fe1c04e601cc7963a6511d88c74e)
![{\displaystyle [a,N]=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f224332b2cd2a88ca609a383e121dd98f3ee8a7)
![{\displaystyle [a^{\dagger },N]=-a^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47b38196e0d9ddcf47c1eb39e4611ddda0c3f9a)
