영혼 (기하학)

(영혼 추측에서 넘어옴)

리만 기하학에서, 영혼(靈魂, 영어: soul [*])은 음이 아닌 단면 곡률을 갖는 리만 다양체에 대하여 존재하는 특별한 콤팩트 부분 다양체이다. 이를 통해, 음이 아닌 단면 곡률을 갖는 다양체의 연구는 콤팩트한 경우로 귀결된다.

정의편집

리만 다양체  영혼은 다음 조건들을 만족시키는 부분 다양체

 

이다.

  • 콤팩트 공간이다.
  •  측지선 의 측지선이다.
  • 임의의 두 점  을 잇는   속의 임의의 측지선   에 속한다.
  •   법다발  미분 동형이다.

성질편집

존재편집

임의의 측지선 완비 리만 다양체  이, 모든 점에서, 모든 방향에서 단면 곡률이 음이 아닌 실수라고 하자.

 

그렇다면,  은 영혼을 갖는다. 이를 영혼 정리(靈魂定理, 영어: soul theorem)라고 한다.

유일성편집

단면 곡률이 음이 아닌 실수인 측지선 완비 리만 다양체  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  의 두 영혼  ,   사이에는 등거리 전단사 함수가 존재한다.

영혼 추측편집

단면 곡률이 음이 아닌 실수인 연결 측지선 완비 리만 다양체  가 주어졌다고 하고, 다음 조건을 만족시키는 점  이 주어졌다고 하자.

 

그렇다면,  의 (임의의) 영혼은 한원소 공간이다. 이를 영혼 추측(靈魂推測, 영어: soul conjecture)이라고 한다. (이름과 달리 이는 이미 증명된 정리이다.)

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영혼편집

콤팩트 리만 다양체  에 대하여,  은 스스로의 영혼이다.

유클리드 공간편집

유클리드 공간  을 생각하자. 그렇다면, 그 속의 임의의 한원소 공간

 

 의 영혼을 이룬다.

모든 단면 곡률이 음이 아닌 실수인 측지선 완비 리만 다양체  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

(이는 영혼의 정의에 따라 자명하다.)

기둥편집

콤팩트 리만 다양체  가 주어졌을 때, 곱공간

 

위에 곱공간 리만 계량을 부여하자.

그렇다면, 임의의  에 대하여,   의 영혼을 이룬다.

포물면편집

3차원 유클리드 공간 속의 포물면

 

을 생각하자. 이는 모든 점에서 양수 단면 곡률을 갖는다. 이 경우, 원점  (으로 구성된 한원소 공간)은  의 영혼을 이룬다. 그러나 다른 점의 경우 일반적으로 영혼을 이루지 못할 수 있다.  은 폐곡선인 측지선을 갖는데, 이에 따라 폐곡선인 측지선 위에 있는 점의 경우 완전 볼록성 조건이 성립하지 못하기 때문이다.

역사편집

영혼 정리는 1972년에 제프 치거와 데틀레프 그로몰(독일어: Detlef Gromoll, 1938~2008)이 증명하였다.[1]:422, Theorem 1.11 같은 논문에서 치거와 그로몰은 “영혼”(영어: soul [*])이라는 용어를 도입하였으며,[1]:414 영혼 추측을 추측하였다.[1]:442, §10 그리고리 페렐만이 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972년 11월). “On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 96 (3): 413–443. doi:10.2307/1970819. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970819. MR 0309010. 
  2. Perelman, Grigori (1994). “Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 40 (1): 209–212. doi:10.4310/jdg/1214455292. ISSN 0022-040X. MR 1285534. Zbl 0818.53056.