오일러-베르누이 보 이론
오일러-베르누이 보 이론
편집정의
편집변형 전에 중심축에 직각이였던 평면횡단면은 변형 후에도 평면을 유지하며 직각이다.
횡하중이 작용하는 보는 축방향 길이(x)에 따라 처짐(w)과 회전각(θ)이 발생한다 (그림1)
그림1
변형이 매우 작은(미소변형)의 경우, x만큼 떨어진 점의 회전각은 tan(θ)와 근사하며 tan(θ)는 처짐 (ω)의 기울기 (dω/dx)와 같다
베르누이 보 가정에 따라, 변형후 단면(빨간색 직선)은 변형 전 단면(파란색 직선)으로부터 dω/dx만큼 회전한다. (그림2참고) 축하중 없이 횡하중에 의한 휨모멘트만 작용하므로, 중심축에서 변형률이 0이
된다.
중심축으로부터 y만큼 떨어진 단면 위치의 축방향 선변위는 tan(θ)에 y를 곱하여 구할수 있으며, 이는 미소변형의 가정에 의해 y*dω/dx와 근사하다.
중심축으로부터 y만큼 떨어진 단면 위치의 축방향 선변위를 미소길이 dx로 나누면, 축방향 변형률을 구할 수 있다. ε(y)=d/dx(y*dω/dx)=y(d²ω/dx²)=yκ κ=곡률을 의미한다.
면의 축방향 선병형률은 y에 따라 곡률에 비례한 직선분포를 가진다
탄성거동을 하는 경우 변형률에 탄성계수를 곱하면, 단면의 법선응력을 구할 수 있다.
폭 b와 높이 h를 갖는 직사각형 단면에 이러한 법선응력이 작용한다면, 이 법선응력이 만들어내는 모멘트는 단면모멘트 M과 같아야 한다.
중심축으로부터 y만큼 떨어진 직사각형 미소단면에 작용하는 법선응력이 만드는 힘과 팔길이 y를 곱하면 미소단면의 법선응력이 만드는 휨모멘트를 계산할 수 있으며, 이를 전체 높이에 대해 적분하면 전체 단면에 작용하는 법선응력이 만드는 총휨모멘트를 아래 식과 같이 계산할 수 있다.
티모센코 보 이론 : 변형 전에 중심축에 직각이였던 평면횡단면은 변형 후에는 평면을 유지하며 더이상 중심축에 직각이지 않다. 중심축과 사이에 발생한 각 차이는 전단병형효과에 의한 것이므로, 깊은 보에 적용 한다. 베르누이 보 이론과는 반대되는 이론이다. 베르누이 보는 얇은 보에 적용하는 이론이다.