올림과 버림

올림버림(또는 내림, 절단)은 근삿값을 구하는 방법 중 하나이다.

올림편집

올림은 올림하려는 수보다 작지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 작은 수를 택한다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 이고 오차의 한계가  일 때,  로 쓸 수 있으면,  의 올림은  일 때  이고,  일 때  이다.

특히, 오차의 한계가 1( )인 경우, 즉 소수점 첫째 자리에서 올림하는 경우  의 올림을  라고도 쓰며, 이것은  보다 작지 않은 최소 정수를 찾는 것과 같다.

  • 오차의 한계가 10이 되도록 하는 것을 "0의 자리에서 올림", 오차의 한계가 100이 되도록 하는 것을 "십의 자리에서 올림" 같은 식으로 말한다.
  • 오차의 한계가 1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 첫째 자리에서 올림", 오차의 한계가 0.1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 둘째 자리에서 올림" 같은 식으로 말한다.
  • 73을 일의 자리에서 올림하면 80이 되고(73=70+3 → 70+10=80), 십의 자리에서 올림하면 100이 된다(73=0+73 → 0+100=100).
  • 51.6137을 소수점 셋째 자리에서 올림하면 51.62이 되고(51.6137=51.61+0.0037 → 51.61+0.01=51.62), 일의 자리에서 올림하면 60이 된다(51.6137=50+1.6137 → 50+10=60).
  • 70을 일의 자리에서 올림하면 70이 된다(70=70+0 → 70).
  • 701을 십의 자리에서 올림하면 800이 된다(701=700+1 → 700+100=800).
  • -211을 일의 자리에서 올림하면 -210이 된다(-211=-220+9 → -220+10=-210).
  • -4.331을 소수점 첫째 자리에서 올림하면 -4가 되고(-4.331=-5+0.669 → -5+1=-4), 소수점 둘째 자리에서 올림하면 -4.3이 된다(-4.331=-4.4+0.069 → -4.4+0.1=-4.3).

내림편집

내림은 버림하려는 수보다 크지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 큰 수를 택한다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 이고 오차의 한계가  일 때,  로 쓸 수 있으면,  의 버림은  이다.

특히, 오차의 한계가 1( )인 경우, 즉 소수점 첫째 자리에서 버림하는 경우를 정수부분을 찾는다고 말한다.

  • 오차의 한계가 10이 되도록 하는 것을 "일의 자리에서 버림", 오차의 한계가 100이 되도록 하는 것을 "십의 자리에서 버림" 같은 식으로 말한다.
  • 오차의 한계가 1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 첫째 자리에서 버림", 오차의 한계가 0.1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 둘째 자리에서 버림" 같은 식으로 말한다.
  • 13.141592를 일의 자리에서 버림하면 10이다(13.141592=10+3.141592 → 10).
  • 5.6341432를 소수점 넷째 자리에서 버림하면 5.634이다(5.6341432=5.634+0.0001432 → 5.634).
  • 32.438191288을 소수점 다섯째 자리에서 버림하면 32.4381이다(2.438191288=32.4381+0.000091288).
  • 9265358을 백의 자리에서 버림하면 9265000이다9265358=9265000+358 → 9265000).
  • -333.3을 일의 자리에서 버림하면 -340이다(-333.3=-340+6.7 → -340).
  • -4.14를 소수점 첫째 자리에서 버림하면 -5이다(-4.14=-5+0.86 → -5).

절단의 상대오차편집

실수 x를 부동소수점 기계 숫자로 나타낸 것을 fl(x)라고 할 때, 절단 오차를 구하는 과정은 다음과 같다. 우선 십진수 양의 실수 x는 정규화된 형태로 다음으로 나타낼 수 있다.

 

k자리로 절단하는 경우의 상대오차를 구한다면

 

따라서 절단의 상대오차는  이다.

참고 문헌편집

  • Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 

같이 보기편집