일반화 고유벡터

선형대수학에서, 일반화 고유벡터(영어: generalized eigenvector)는 비대칭 행렬의 대수적 중복도가 기하적 중복도와 일치하지 않을 때, 모자라는 고유벡터들을 대신하는 벡터들이다.

정의

복소 $n\times n$ 정사각행렬 $A$의 고윳값 $\lambda _{i}$의 대수적 중복도가 $n_{i}$라고 하자. 그렇다면, 고윳값 $\lambda _{i}$의 일반화 고유벡터 $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$는 다음 성질을 만족시키는 벡터이다.

$(A-\lambda _{i})^{n_{i}}\mathbf {v} =\mathbf {0}$

모든 고유벡터는 일반화 고유벡터이지만, 만약 고윳값의 대수적 중복도가 기하적 중복도를 초과하면, 고유벡터가 아닌 일반화 고유벡터가 존재한다.

예

다음과 같은 행렬을 생각하자.

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

$A$의 고윳값은 1밖에 없으며, 그 기하적 중복도는 1이지만 대수적 중복도는 2이다. 이 경우, $A$의 고유벡터는

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

하나밖에 없다. 이 경우,

$(A-I)^{2}=0$

이므로, 모든 벡터가 $A$의 일반화 고유벡터가 된다. 즉, $A$는 총 2개의 (선형독립) 일반화 고유벡터를 가지며, 그 가운데 하나는 고유벡터를 이룬다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized eigenvector”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Root vector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.