전신 방정식

전신 방정식(電信方程式, telegraph equation)은 송신선의 전류와 전압을 다루는 2차 편미분 방정식이다.

역사

1887년에 당시 전보 기사였던 올리버 헤비사이드가 도입하였다.^[1]

편의상 $A'=\partial A/\partial x$ , ${\dot {A}}=\partial A/\partial t$ 로 표기하자.

단위 길이당 전신선 모형 회로도

매우 가는 균일한 전신선이 단위 길이당 전기 저항 $R$ 과 단위 길이당 인덕턴스 $L$ 을 가진다고 하자. 또한, 전신선에서 전류가 단위 길이당 전도율 $G$ 과 단위 길이당 전기 용량 $C$ 를 통해 (병렬로) 샌다고 하자.

전신선 위의 전압 $V(x,t)$ 과 전류 $I(x,t)$ 는 다음과 같은 연립 1차 편미분 방정식을 따른다.

V'=-RI-L{\dot {I}}

I'=-GV-C{\dot {V}}

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두 편미분 방정식 가운데 하나를 다른 하나에 대입하면 다음과 같이 하나의 2차 편미분 방정식을 얻는다.

V''=GRV+(GL+CR){\dot {V}}+LC{\ddot {V}}

.

I''=GRI+(GL+CR){\dot {I}}+LC{\ddot {I}}

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이를 전신 방정식이라고 한다.

편의상 전력 손실을 무시하자. 즉, $R=0$ , $G=0$ 으로 놓자. 그렇다면 전신 방정식은 다음과 같이 파동 방정식이 된다.

V''=LC{\ddot {V}}

.

I''=LC{\ddot {I}}

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이 방정식의 일반해는

V(x,t)=\int V_{0}(\omega )\exp \left(i\omega ({\sqrt {LC}}x-t)\right)\,d\omega

이다. 따라서, 전신선을 통해 전달되는 신호의 속도는 $1/{\sqrt {LC}}$ 임을 알 수 있다.

↑ Heaviside, Oliver (1894). 〈On the Self-Induction of Wires Part VIII: The Transmission of Electromagnetic Waves along Wires without Distortion〉. 《Electrical Papers》 2. New York: McMillan and Co. 307쪽.

Polyanin, Andrei D. (2004). 〈§2.7 Telegraph Equation〉. 《EqWorld: The World of Mathematical Equations》 (PDF).