정삼각형 안에 원 채우기
정삼각형 안에 원 채우기는 n개의 단위원을 가장 작은 정삼각형에 넣는 이산수학의 채우기 문제이다. 최적해는 n < 13일 때와 원의 개수가 삼각수일 때 알려져 있으며, n < 28일 때 추측이 가능하다.[1][2][3]
에르되시 팔의 추측과 노만 올러는 n이 삼각수일 때, 원이 n − 1 개 일 때와 n 개 일 때 최적해는 한 변의 길이가 같다고 서술했다: 추측에 의하면 원이 n − 1 개 일 때 최적 채우기는 원이 n 개 일 때 최적 육각 채우기에서 하나를 뺀 채우기라고 한다.[4] 이 추측은 n ≤ 15일 때 성립한다.[5]
삼각형의 한 변의 길이의 최소해다:
| 원의 개수 | 길이 |
|---|---|
| 1 | = 3.464... |
| 2 | = 5.464... |
| 3 | = 5.464... |
| 4 | = 6.928... 
|
| 5 | = 7.464...  
|
| 6 | = 7.464... |
| 7 | = 8.928... |
| 8 | = 9.293... |
| 9 | = 9.464... |
| 10 | = 9.464... |
| 11 | = 10.730... |
| 12 | = 10.928... |
| 13 | = 11.406... |
| 14 | = 11.464... |
| 15 | = 11.464... |
비슷한 문제로는 정삼각형을 가능한한 작은 반경을 가지는 정해진 수의 원으로 채우는 것이다.[6]
같이 보기 편집
- 직각이등변삼각형에 원 채우기
- Malfatti 원, 정삼각형의 세 원의 최적해를 주는 구조이다
각주 편집
- ↑ Melissen, Hans (1993), “Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle”, 《The American Mathematical Monthly》 100 (10): 916–925, doi:10.2307/2324212, MR 1252928.
- ↑ Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), “Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle”, 《Discrete Mathematics》 145 (1-3): 333–342, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C, MR 1356610.
- ↑ Graham, R. L.; Lubachevsky, B. D. (1995), “Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond”, 《Electronic Journal of Combinatorics》 2: Article 1, approx. 39 pp. (electronic), MR 1309122.
- ↑ Oler, Norman (1961), “A finite packing problem”, 《Canadian Mathematical Bulletin》 4: 153–155, doi:10.4153/CMB-1961-018-7, MR 0133065.
- ↑ Payan, Charles (1997), “Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler”, 《Discrete Mathematics》 (프랑스어), 165/166: 555–565, doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4, MR 1439300.
- ↑ Nurmela, Kari J. (2000), “Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles”, 《Experimental Mathematics》 9 (2): 241–250, doi:10.1080/10586458.2000.10504649, MR 1780209.