제타 함수 조절

제타 함수 조절(영어: zeta function regularization)은 물리학에서 쓰이는 조절 기법의 하나다. 수치해석적으로는 수렴 속도가 느려 쓸모가 없으나, 이론적으로는 다루기 편하다. 특히 카시미르 효과 등 영점 에너지의 계산과 끈 이론에 자주 쓰인다. 이 조절을 쓸 때 자주 등장하는 리만 제타 함수의 이름을 딴 것이다.

"제타 함수 정칙화" 라고도 한다.

정의

어떤 발산하는 합

$S=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

이 있다고 하자. 여기서 $f(x)$는 정칙함수라고 가정하자. 이를 제타 함수 조절하려면 다음과 같이 규칙자 $s$를 삽입한다.

$S(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$

여기서 $s$가 충분히 크다면 $S(s)$는 수렴하는 경우가 잦다. 이와 같은 경우에, 만약 $s=0$에서의 특이점이 제거가능하다면, $s=0$로 해석적 연속을 취한다.

예를 들어, 카시미르 효과 등에 등장하는 합

$S=\sum _{n=1}^{\infty }n$

을 생각하자. 이 경우에는 규칙화하면

$S(s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{1-s}=\zeta (s-1)$

을 얻는다. (여기서 $\zeta (x)$는 리만 제타 함수다.) 이제 $s\to 0$을 취하면

$\lim _{s\to 0}S(s)=\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$

이 된다.

외부 링크

• Elizalde, E. (2001). “Zeta-function method for regularization”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.