초입자

이론물리학에서 초입자(超粒子, 영어: superparticle)는 초공간 속을 움직이는 입자이다.^[1]^[2]^:§3 초장의 한 양자를 나타내며, 그 힐베르트 공간은 그 초다중항에 속하는 입자들의 (1입자) 힐베르트 공간들의 직합이다.

정의

우선, 무질량 비초대칭 입자는 다음과 같이 묘사된다. 그 좌표가 $x^{m}\in \mathbb {R} ^{D}$ 라고 하자. 그렇다면, 운동 방정식은

\eta ^{ab}p_{a}p^{b}=0

이다. 이에 따라서, 세계선 위의 라그랑지언

L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)p_{a}-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}

을 적을 수 있다. 여기서

$t\in \mathbb {R}$ 는 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점은 $\partial /\partial t$ 를 뜻한다.
$\eta _{ab}$ 는 상수 계량 텐서이다.
$\lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ 는 세계선의 1×1 필바인이며, 이는 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 이는 또한 운동 방정식 $p^{2}=0$ 의 라그랑주 승수이다.
$e_{m}{}^{a}$ 는 시공간의 필바인이다. 즉, $\eta _{ab}e_{m}{}^{a}e_{n}{}^{b}=g_{mn}$ 가 시공간의 계량 텐서이다.
$x^{m}$ 는 입자의 위치이며, $p_{a}$ 는 입자의 운동량이다. 이들은 독립된 장으로 취급한다.

이제, $(\lambda ,x,p)$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다.

$\lambda$ : $p^{2}=0$
$x$ : $(\partial /\partial t)e_{m}{}^{a}p_{a}={\dot {x}}^{m}p_{a}\partial e_{m}{}^{a}/\partial x$
$p$ : ${\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)=\lambda \eta ^{ab}p_{b}$

특히, $\lambda$ 의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않으며, 이는 게이지 변환으로 사실 (예를 들어) $\lambda =1$ 로 게이지 고정을 가할 수 있다. 이를 가하고, $p$ 의 운동 방정식을 사용하여 $p$ 를 $x$ 에 대한 표현

p_{a}=\eta _{ab}{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{b}

로 대체하면, 작용은 다음과 같다.

L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}\eta _{ab}e_{n}{}^{b}{\dot {x}}^{n}=\int \mathrm {d} tg_{mn}{\dot {x}}^{m}{\dot {x}}^{n}

초입자는 초공간 속에서 움직이는 입자이다. 즉, 그 좌표는

x^{M}=(x^{m},\theta ^{\mu })\in \mathbb {R} ^{D|D'}

의 꼴이며, 여기서 $m$ 은 실제 공간 벡터의 지수, $\mu$ 는 어떤 스피너 지수를 뜻한다.

초입자의 운동은 다음과 같은 두 운동 방정식으로 결정된다.

\eta ^{ab}p_{a}p_{b}=0

p_{a}\gamma ^{a}d=0

여기서 $p_{A}=(p_{a},d_{\alpha })$ 는 각각 $x^{m}$ 과 $\theta$ 에 대한 일반화 운동량이다. (첫째 식은 일반 입자에도 존재하지만, 둘째 식은 초입자 고유의 것이다.)

이제, 다음과 같은 라그랑지언을 생각하자.

L=\int \mathrm {d} t\,\left({\dot {x}}^{M}e_{M}{}^{A}\,-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}-\mathrm {i} \lambda '(p_{a}\gamma ^{a})d=0\right)

여기서

$t\in \mathbb {R}$ 는 세계선의 (임의의) 좌표이다. 이에 대한 미분은 윗점 $\partial A/\partial t={\dot {A}}$ 로 표기된다.
$x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{D|D'}$ 는 초입자의, 초공간 속의 좌표이다.
$\lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $\lambda '\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{D'}$ 는 두 운동 방정식에 대한 라그랑주 승수이다. $\lambda$ 는 스칼라이며, $\lambda '$ 은 스피너이다. 이들은 또한 게이지 변환의 게이지 장을 이루며, 이에 따라 $\lambda =1$ , $\lambda '=0$ 인 게이지를 고를 수 있다.

또한, 시공간 초필바인의 성분은 다음과 같다.

e_{M}{}^{A}(x,\theta )={\begin{pmatrix}e_{m}{}^{a}(x)&0\\-\mathrm {i} \gamma ^{a}\theta &\delta _{\mu }^{\alpha }\end{pmatrix}}

그렇다면, $\lambda$ , $\lambda '$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각

p^{2}=0

p_{a}\gamma ^{a}d=0

이 되며, $p_{A}$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은

({\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)-\mathrm {i} {\dot {\theta }}\gamma ^{a}\theta )=\lambda \eta ^{ab}p_{b}+\mathrm {i} \lambda '\gamma ^{a}d

{\dot {\theta }}^{\beta }=\mathrm {i} p_{a}\lambda '_{\alpha }\gamma ^{a\alpha \beta }

이다. 이는 운동량 $p_{a}$ 와 초운동량 $d_{\alpha }$ 를 초공간 좌표 $(x^{m},\theta ^{\mu })$ 로부터 결정한다.

만약 $\lambda =1$ , $\lambda '=0$ 게이지를 사용할 경우,

p_{a}={\dot {x}}^{m}e_{ma}

{\dot {\theta }}=0

가 된다.

↑ Brink, Lars; Schwarz, John H. (1981). “Quantum superspace”. 《Physics Letters B》 (영어) 100 (4). doi:10.1016/0370-2693(81)90093-9.
↑ Siegel, Warren (1985년 1월 13일). “Classical superstring mechanics”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 263 (1): 93–104. Bibcode:1986NuPhB.263...93S. doi:10.1016/0550-3213(86)90029-5.