최대 최소 정리

수학 공식

미적분학에서, 최대 최소 정리(最大最小整理, 영어: extreme value theorem)는 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수는 항상 최댓값최솟값을 갖는다는 정리이다.

닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수 f는 최댓값 f(c)와 최솟값 f(d)를 반드시 갖는다.

정의편집

최대 최소 정리에 따르면, 정의역이 콤팩트 공간  , 공역이 실수선  연속 함수  유계 함수이며, 최댓값최솟값을 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.

 
 

즉, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  • 임의의  에 대하여,  

특히, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수  는 유계 함수이며, 최댓값과 최솟값을 갖는다.

증명편집

귀류법을 사용하여,  가 최댓값을 가지지 않는다고 가정하자. 그렇다면,  가 연속 함수이므로, 임의의  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방  을 취할 수 있다.

 

그렇다면,   덮개이며,  가 콤팩트 공간이므로 유한 부분 덮개  를 취할 수 있다. 따라서, 임의의  에 대하여,

 

이며, 이는 상한의 정의와 모순이다. 따라서,  의 상한은 무한대가 아니며, 또한  는 최댓값을 갖는다.

역사편집

최대 최소 정리는 1830년대에 베르나르트 볼차노가 '함수론'에서 증명했지만, 1930년까지는 출판되지 않았다. 볼차노의 증명은 폐구간에서 연속함수가 유계이면, 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 볼차노-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. 1860년에 카를 바이어슈트라스가 그의 증명을 재발견해 냈기 때문이다.