카노 맵

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카노 맵 예

카르노 맵(영어: Karnaugh map, 간단히 K-map)은 논리 회로 용어로, 불 대수 위의 함수를 단순화 하는 방법이다. 불 대수에서 확장된 논리 표현을 사람의 패턴인식에 의해 연관된 상호관계를 이용하여 줄이는 방법이다.

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카르노도는 불 대수를 편리하게 단순화 하는 방법을 제공한다. 설계대상이 요구하는 입력과 출력의 관계를 진리표로 표현하고 이것으로부터 카르노 맵을 그린다.

논리 기능의 진리표
  A B C D f(A, B, C, D)
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 0
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 1
12 1 1 0 0 1
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 1
15 1 1 1 1 0

단순화 되지 않은 불대수 표현에서 불 변수 ,  ,  ,  에 대해:

  •  

여기서  안의 숫자는 최소항 전개(minterm)의 진리표에서 출력이 1 이다.

출력 1인 각각의 최소항들을 모두 표시하면:

  •  

이것은 단순화되지 않는 불대수이다.

카노 맵편집

카노 맵은 입력변수와 출력을 도식화 하고, 같은 출력의 패턴을 찾아 묶음으로 단순화 한다. 배치에서 변수의 값이 변하도록 서로 묶이도록 배치한다.

 
K-map construction.

이것을 진리표의 출력값을 배치하면:

 
K-map에서 최소항들은 컬러상자로 표시한다. 갈색은 겹친영역이고, 빨간도식은 2×2 그리고 녹색은 4×1.

서로 이웃의 출력끼리 묶어 상자를 만든다. 만약 X가 존재하다면 출력 0이든 1이든 어디에도 포함할 수 있다.

단순화편집

출력 1을 기준으로 단순화 하면

빨간상자는:

  • 변수 A가 1일때 1로 출력된다. 따라서 그대로 포함된다.

결국 곱의합(sum-of-products expression) 표현으로 표시하면  .

같은 방법으로 녹색상자는 AB가 유지되고, CD 배제된다. B는 0일 때 1로, 보수로 출력이 나타난다.  .

파란상자는  .

출력 1이 모두 포함하도록 각각의 상자를 위와 같이 표현하고 모두 곱의합형태로 나타내면 단순화 된 결과가 된다:

 .

전체 단순화되지 않는 식:

 

이것을 카노 맵으로 단순화 하면:

 

역함수편집

역함수를 구하기 위해서는 1대신 0으로 묶음상자를 만든다.

위와 같은 방법으로:

  • 갈색상자— 
  • 금색상자— 
  • 파란상자— 

역함수로 표시하면:

 

드 모르간의 법칙(De Morgan's laws)을 적용하여 합의 곱(product of sums)으로 표시하면:

 
 

같이 보기편집