콜라츠 추측
콜라츠 추측(Collatz conjecture)은 1937년에 처음으로 이 추측을 제기한 로타르 콜라츠의 이름을 딴 것으로 3n+1 추측, 울람 추측, 혹은 헤일스톤(우박) 수열 등 여러 이름으로 불린다. 콜라츠 추측은 임의의 자연수가 다음 조작을 거쳐 항상 1이 된다는 추측이다.
- 짝수라면 2로 나눈다.
- 홀수라면 3을 곱하고 1을 더한다.
- 1이면 조작을 멈추고, 1이 아니면 첫 번째 단계로 돌아간다.
예를 들어, 6에서 시작한다면, 차례로 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 이 된다.
또, 27에서 시작하면 무려 111번을 거쳐야 1이 된다. 77번째에 이르면 9232를 정점으로 도달하다가 급격히 감소하여 34단계를 더 지나면 1이 된다.
이 추측은 컴퓨터로 268[1]까지 모두 성립함이 확인되었다. 그러나, 아직 모든 자연수에 대한 증명은 발견되지 않고 있다. 이 문제의 해결에 500달러의 현상금을 걸었던 에르되시 팔은 "수학은 아직 이런 문제를 다룰 준비가 되어 있지 않다."는 말을 남겼다.
다음과 같은 통계적인 설명을 생각하면 이 추측은 참일 가능성이 높아 보인다. 그러나 이것이 콜라츠 추측을 증명하는 것은 아니다.
이 조작에 의해 만들어지는 홀수들만 생각하면, 다음에 오는 홀수는 평균적으로 그 전의 수의 3/4정도의 값을 갖는다. 따라서 홀수의 수열은 점점 작아져 결국 1이 될 것이다.
콜라츠 추측의 공식 표현 편집
콜라츠 추측의 함수표현 공식
- 가 원래 정석 표현이지만 n이 홀수라고 했기에 3n+1은 짝수가 된다. 이점에서
- 로 나타내기도 한다.
콜라츠 추측 공식의 합동산술(modular arithmetic) 표현식
콜라츠 추측의 일반화 공식 편집
콜라츠 추측의 일반화 공식의 응용 편집
- 이면, 의 배수안에 존재하는 값만이 만들어지므로, 의 범주를 넘지 못한채로, 반복 수렴으로 에 귀결된다.
- 이면, 홀수 에 가 곱해진 수는 짝수이므로 짝수에 을 더하면 계속해서 무한히 증가된 값의 홀수 으로 만들게 된다. 그리고 콜라츠 추측의 단계 진행은 작동하지 않는다.
- 모든 자연수가 짝수에서도 그리고 홀수에서도 을 반복한다면, 반복 수렴으로 에 귀결된다.
== 콜라츠
콜라츠 그래프의 분기 편집
콜라츠 그래프에서 특정 짝수는 홀수에대한 의 수면서 동시에 짝수에 대한 수가 되는 분기점이 된다.
- 은 콜라츠 유향 그래프에서 최초의 분기점이다.
만약 콜라츠 추측이 성립한다면, 이것은 동시에 을 제외한 모든 자연수가 과 연결되기 위한 마지막 분기점이다.
따라서, 홀수에 대한 의 수 이면서 동시에 짝수에 대한 수가 되는 분기점 짝수 은 에서 의 수이다.
콜라츠 그래프 분기점 수열 편집
콜라츠 그래프의 분기점 짝수 은
- 에서
규칙적으로 출현한다.
최초 출현 수열은 다음과 같다.
이러한 콜라츠 그래프 분기점 수열은 6씩 증가하는 수열이다.
또한 십진수 30을 주기로 5개의 자리수 이 순환적으로 출현한다.
참고 문헌 편집
- Lagarias, Jeff (1985). “The 3x+1 problem and its generalizations”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 92: 3–23.
- 매스월드
각주 편집
- ↑ Barina, D. Convergence verification of the Collatz problem. J Supercomput (2020). https://doi.org/10.1007/s11227-020-03368-x
외부 링크 편집
- Distributed computing (BOINC) project Archived 2017년 12월 4일 - 웨이백 머신 콜라츠 추측에 대한 분산 컴퓨팅 프로젝트