콰인-매클러스키 알고리즘
콰인-매클러스키 알고리즘(Quine-McCluskey algorithm)은 논리식을 최소화하는 알고리즘이다. 내부적으로는 카노 맵과 동일하지만, 그림을 그려서 맞추는 카노 맵과 달리 표를 사용하기 때문에 컴퓨터에서 쉽게 돌릴 수 있다. 또한 논리함수의 최소 형태를 결정론적으로 구할 수 있다.
알고리즘은 다음 두 단계로 구성된다.
- 주어진 함수의 후보항(Prime Implicants)들을 모두 구한다.
- 후보항들을 이용해서 후보항 표에서 필수항(Essential Prime Implicant)을 구한다.
복잡도 편집
카노 맵과 달리, 콰인-매클러스키 알고리즘을 사용하면 변수가 4개를 넘더라도 효율적으로 논리 최적화할 수 있다. 그러나 논리 최적화 문제가 기본적으로 NP-완전이므로, 콰인-매클러스키 알고리즘은 변수의 개수가 제한된 경우에만 효율적으로 실행할 수 있다. 콰인-매클러스키 알고리즘의 실제 실행시간은 입력에 대해 지수적으로 증가한다. n 개의 변수가 있을 때, 후보항 개수의 상한은 3n/n임을 보일 수 있다. n = 32이면 6.1 * 1014, 즉 617조 개의 후보항이 존재한다. 변수의 개수가 많을 때는 발견법으로 풀 수밖에 없다.
예제 편집
1 단계: 후보항 찾기 편집
다음 함수를 최소화 해보자:
- f(A, B, C, D) = (4, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15)
A B C D f m0 0 0 0 0 0 m1 0 0 0 1 0 m2 0 0 1 0 0 m3 0 0 1 1 0 m4 0 1 0 0 1 m5 0 1 0 1 0 m6 0 1 1 0 0 m7 0 1 1 1 0 m8 1 0 0 0 1 m9 1 0 0 1 1 m10 1 0 1 0 1 m11 1 0 1 1 1 m12 1 1 0 0 1 m13 1 1 0 1 0 m14 1 1 1 0 1 m15 1 1 1 1 1
최소항(minterm)들의 합으로 표현하면, 쉽게 곱의 합 정규형 표현(canonical sum of products expression)을 얻는다.
물론 이것은 최소가 아닐것이다. 따라서 모든 최소항들을 일단 최소항 표에 넣어 최적화 한다.
| 1의 개수 | 최소항 | 2진수 표기 |
|---|---|---|
| 1 | m4 | 0100 |
| m8 | 1000 | |
| 2 | m9 | 1001 |
| m10 | 1010 | |
| m12 | 1100 | |
| 3 | m11 | 1011 |
| m14 | 1110 | |
| 4 | m15 | 1111 |
여기서 최소항을 다른 최소항과 결합한다. 만일 두 항이 한 자리만 차이난다면, 그 자리를 -로 대체한다(이것은 그 자리가 영향을 끼치지 않는다는 것을 의미한다). 더 이상 결합하지 못하는 항(pi = prime implicant)들은 *로 표시하였다.
| section | 후보항 | bit 표기 | pi | |
| 크기가 1인 후보항 | 1 | m4 | 0100 | |
| m8 | 1000 | |||
| 2 | m9 | 1001 | ||
| m10 | 1010 | |||
| m12 | 1100 | |||
| 3 | m11 | 1011 | ||
| m14 | 1110 | |||
| 4 | m15 | 1111 | ||
| 크기가 2인 후보항 | 1 | m(4,12) | -100 | * |
| m(8,9) | 100- | |||
| m(8,10) | 10-0 | |||
| m(8,12) | 1-00 | |||
| 2 | m(9,11) | 10-1 | ||
| m(10,11) | 101- | |||
| m(10,14) | 1-10 | |||
| m(12,14) | 11-0 | |||
| 3 | m(11,15) | 1-11 | ||
| m(14,15) | 111- | |||
| 크기가 4인 후보항 | 1 | m(8,9,10,11) | 10-- | * |
| m(8,10,12,14) | 1--0 | * | ||
| 2 | m(10,11,14,15) | 1-1- | * |
2 단계: 후보항 표 편집
더는 어떤 항도 결합할 수 없을 때, 필수항 표(essential prime implicant table)를 만든다. 이전 과정에서 얻은 최후의 후보항들을 표에 세로로 늘어놓고, 가로로는 앞에서 얻었던 최소항들을 나열한다.
| 4 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 14 | 15 | |
| m(4,12)* | X | X | ||||||
| m(8,9,10,11)* | X | X | X | X | ||||
| m(8,10,12,14)* | X | X | X | X | ||||
| m(10,11,14,15)* | X | X | X | X |
필수항을 *로 표시하였다. 만일 후보항을 더 이상 없앨 수 없다면 남은 후보항은 필수항이다. 3번째의 항은 1, 2가 표현하는 최소항에 의해 표현되므로 없앨 수 있다. 1, 3, 4번 항을 택하는 것도 다른 답이 된다. 가끔 후보항들이 모든 최소항을 표현해내지 못할 때가 있는데, 그럴 때는 추가 과정이 필요하다. 가장 간단한 "추가 과정"은 모두 시도해보는 것이지만, 더 체계적인 방법으로 페트릭의 방법(Petrick's Method)이 있다. 이 예제에서 최소 후보항은 모든 최소항을 표현해내므로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
위의 식은 원래의 식과 논리적으로 동치이다.