퇴플리츠 행렬

선형대수학에서 퇴플리츠 행렬(Toeplitz行列, 영어: Toeplitz matrix)은 대각선 위의 성분들이 같은 정사각 행렬이다.

정의

퇴플리츠 행렬은 다음 성질을 만족시키는 정사각 행렬 $M$이다.

$M_{i,j}=M_{i+1,j+1}\qquad \forall i,j$

즉, $n\times n$ 퇴플리츠 행렬은 다음과 같은 꼴이다.

$M={\begin{pmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{pmatrix}}$

성질

두 $n\times n$ 퇴플리츠 행렬 $M,M'$에 대하여, 각종 연산의 계산 복잡도는 다음과 같다.

• 덧셈: $O(n)$
• 곱셈: $O(n^{2})$
• 연립 일차 방정식 $Mx=a$의 해: $O(n^{2})$ (레빈슨 재귀 알고리즘)
• 행렬식 $\det M$: $O(n^{2})$ (레빈슨 재귀 알고리즘)

역사

독일의 수학자 오토 퇴플리츠(독일어: Otto Toeplitz, 1881~1940)가 도입하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Toeplitz matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.