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일반적으로 투과계수 (透過係數, Transmission coefficient)는 전자기파 등을 비롯한 어떤 파동 이 다른 물체와의 경계면에 입사했을 때, 그 물체를 투과하는 정도를 가리키는 것으로 광학 이나 양자역학 에서 사용되는 개념이다.
An electromagnetic (or any other) wave experiences partial transmittance and partial reflectance when the medium through which it travels suddenly changes. 광학에서의 투과계수
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광학에서 투과계수는 전자기파 가 어떤 매질 의 표면이나 광학소자를 통과하는 정도를 가리킨다. 입사파(入射坡)와 투과파(透過波)간의 진폭 이나 세기(광도 )의 비를 이용해 계산한다.
투과계수의 계산
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전자기파의 단위면적 당 세기, 즉 광도 (intensity)는 다음과 같다.
I
=
1
2
ϵ
v
E
0
2
E
0
{\displaystyle I={\frac {1}{2}}\epsilon vE_{0}^{2}\qquad \,E_{0}}
유전율 이
ϵ
1
{\displaystyle \,\epsilon _{1}}
매질 에서
ϵ
2
{\displaystyle \,\epsilon _{2}}
속도 를 각각
I
1
{\displaystyle \,I_{1}}
I
2
{\displaystyle \,I_{2}}
v
1
{\displaystyle \,v_{1}}
v
2
{\displaystyle \,v_{2}}
T
≡
I
T
I
I
=
ϵ
2
v
2
ϵ
1
v
1
(
E
0
T
E
0
I
)
2
=
4
n
1
n
2
(
n
1
+
n
2
)
2
.
{\displaystyle T\equiv {\frac {I_{T}}{I_{I}}}={\frac {\epsilon _{2}v_{2}}{\epsilon _{1}v_{1}}}\left({\frac {E_{0_{T}}}{E_{0_{I}}}}\right)^{2}={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}.}
여기에서
n
1
{\displaystyle \,n_{1}}
n
2
{\displaystyle \,n_{2}}
굴절률 을 가리킨다.
투과계수에 대응하는 개념으로 반사계수
R
≡
I
R
I
I
=
(
E
0
R
E
0
I
)
2
=
(
n
1
−
n
2
)
2
(
n
1
+
n
2
)
2
.
{\displaystyle R\equiv {\frac {I_{R}}{I_{I}}}=\left({\frac {E_{0_{R}}}{E_{0_{I}}}}\right)^{2}={\frac {(n_{1}-n_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}.}
에너지 보존 법칙 에 따라
T
+
R
=
1
{\displaystyle \,T+R=1}
양자역학에서의 투과계수
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비상대론적(non-relativistic ) 양자역학 에서, 투과계수(transmission coefficient )와 반사계수(reflection coefficient )는 경계면에 파가 입사되었을 때 거동을 묘사할 때 쓰인다. 투과계수는 종종 경계를 터널링하는 확률을 나타내는 데 사용된다.
투과계수는 입사와 투과 확률 흐름 밀도(transmitted probability current density ) j를 사용하여 다음과 같이 정의한다:
T
=
|
j
t
r
a
n
s
m
i
t
t
e
d
|
|
j
i
n
c
i
d
e
n
t
|
{\displaystyle T={\frac {|j_{transmitted}|}{|j_{incident}|}}}
여기서
j
i
n
c
i
d
e
n
t
{\displaystyle j_{incident}}
j
t
r
a
n
s
m
i
t
t
e
d
{\displaystyle j_{transmitted}}
반사계수 R은 다음과 같이 투과계수와 비슷하게 정의된다.
R
=
|
j
r
e
f
l
e
c
e
d
|
|
j
i
n
c
i
d
e
n
t
|
{\displaystyle R={\frac {|j_{refleced}|}{|j_{incident}|}}}
두 계수의 합은 확률 보존에 의해
T
+
R
=
1
{\displaystyle \,T+R=1}
WKB 근사법에 의한 투과계수 계산
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WKB 근사법 을 이용하여, 터널링 계수를 구하면 다음과 같다.
T
=
e
−
2
∫
x
1
x
2
d
x
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
(
1
+
1
4
e
−
2
∫
x
1
x
2
d
x
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
)
2
{\displaystyle T={\frac {e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\left(1+{\frac {1}{4}}e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}\right)^{2}}}}
여기서,
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
ℏ
→
0
{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}
플랑크 상수 보다 매우 큰 매개변수에 고전적 한계를 취하면, 투과계수는 정확하게 0으로 수렴한다. 이런 고전 극한은 현실적이지가 않고, 좀 더 단순히 풀기 위해, 네모 전위(square potential )이라 가정한다.
만약 투과 계수가 1보다 매우 작으면, 식을 다음과 같이 근사할 수 있다.
T
≈
16
E
U
0
(
1
−
E
U
0
)
e
−
2
L
m
(
U
0
−
E
)
{\displaystyle T\approx 16{\frac {E}{U_{0}}}(1-{\frac {E}{U_{0}}})e^{-2L{\sqrt {m(U_{0}-E)}}}}
여기서,
L
=
x
2
−
x
1
{\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}
같이 보기
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