샌드위치 정리 (-定理, 영어 : sandwich theorem, pinching theorem, squeeze theorem )는 함수의 극한 에 관한 정리 이다. 미적분학 과 해석학 에서 널리 쓰인다. 이 정리에 따르면, 두 함수가 어떤 점에서 같은 극한을 갖고, 어떤 함수가 두 함수 사이에서 값을 가지면, 그 함수도 똑같은 값의 극한을 가진다. 압착 정리 (壓搾定理), 스퀴즈 정리 , 조임 정리 로도 불린다.
수열
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
,
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
,
{
c
n
}
{\displaystyle \{c_{n}\}}
에 대하여, 충분히 큰 모든 자연수
n
{\displaystyle n}
에 대해
a
n
≤
c
n
≤
b
n
{\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}
이고
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
b
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}
이면,
lim
n
→
∞
c
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}
이다.
함수
f
,
g
,
h
{\displaystyle f,g,h}
에 대하여,
a
{\displaystyle a}
에 충분히 가까운 모든
x
{\displaystyle x}
에 대해
f
(
x
)
≤
h
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq h(x)\leq g(x)}
이고
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=L}
이면,
lim
x
→
a
h
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}
이다.
아래는 함수에 관한 명제의 증명이다. 수열에 관한 명제도 이와 비슷하게 증명 가능하다.[ 1]
모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
에 대하여
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
1
⇒
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
⇒
L
−
ϵ
<
f
(
x
)
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \Rightarrow L-\epsilon <f(x)}
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
2
⇒
|
g
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
⇒
g
(
x
)
<
L
+
ϵ
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}\Rightarrow |g(x)-L|<\epsilon \Rightarrow g(x)<L+\epsilon }
를 만족하는 양의 실수
δ
1
,
δ
2
{\displaystyle \delta _{1},~\delta _{2}}
가 존재한다.
또한 전제조건에 의해
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
0
⇒
f
(
x
)
≤
h
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{0}\Rightarrow f(x)\leq h(x)\leq g(x)}
를 만족하는 양의 실수
δ
0
{\displaystyle \delta _{0}}
이 존재한다.
δ
{\displaystyle \delta }
를
min
(
δ
0
,
δ
1
,
δ
2
)
{\displaystyle \min(\delta _{0},\delta _{1},\delta _{2})}
로 잡으면,
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
⇒
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
i
,
i
=
0
,
1
,
2
⇒
L
−
ϵ
<
f
(
x
)
≤
h
(
x
)
≤
g
(
x
)
<
L
+
ϵ
⇒
|
h
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}0<|x-a|<\delta &\Rightarrow &0<|x-a|<\delta _{i},\ i=0,1,2\\&\Rightarrow &L-\epsilon <f(x)\leq h(x)\leq g(x)<L+\epsilon \\&\Rightarrow &|h(x)-L|<\epsilon \end{array}}}
이다.
정리하면 모든 양의 실수
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
에 대하여
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
⇒
|
h
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|h(x)-L\right|<\epsilon }
를 만족하는 양의 실수
δ
{\displaystyle \delta }
가 존재한다. 그러므로 극한의 정의에 의하여
lim
x
→
a
h
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}
이다.
↑ Stewart, James (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》 (영어). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7 .